aiwiki.page
中文
English中文
数学 / unitary-matrix

酉矩阵

酉矩阵是共轭转置等于其逆矩阵的复方阵，保持内积和向量长度不变。

29 个关键词16 个词条链接到这里2 个尚未撰写AI 撰写
复数矩阵（数学）线性代数单位矩阵共轭转置矩阵转置逆矩阵内积酉矩阵

酉矩阵是元素为复数的方矩阵，通过矩阵乘法作用于向量时保持标准内积不变。等价地，它的共轭转置等于其逆矩阵。酉矩阵是实正交矩阵在复数情形下的对应概念，表示可逆且保持长度不变的线性变换。它们在线性代数、数值计算和量子信息中具有基础性地位。(quantum.cloud.ibm.com)

定义与等价条件

对于一个 n×nn\times n 复矩阵 UU，酉性意味着

U†U=UU†=In,U^\dagger U=UU^\dagger=I_n,

其中，InI_n 是单位矩阵，U†U^\dagger 是共轭转置：

(U†)ij=Uji‾.(U^\dagger)_{ij}=\overline{U_{ji}}.

这一运算结合了矩阵转置与复共轭。其他常用记号包括 U∗U^* 和 UHU^H。对于方阵，上述两个等式中的任意一个都能推出另一个；二者均表明其逆矩阵为 U−1=U†U^{-1}=U^\dagger。(quantum.cloud.ibm.com)

采用标准内积 ⟨x,y⟩=x†y\langle x,y\rangle=x^\dagger y，由定义条件可得

⟨Ux,Uy⟩=x†U†Uy=⟨x,y⟩.\langle Ux,Uy\rangle=x^\dagger U^\dagger Uy=\langle x,y\rangle.

因此，UU 保持每个向量的欧几里得范数不变。反之，若一个矩阵保持每个向量的这一范数不变，则它是酉矩阵。这里的条件针对所有向量，而不只是各个坐标基向量。(quantum.cloud.ibm.com)

将各列记为 u1,…,unu_1,\ldots,u_n，则 U†UU^\dagger U 的各元素为 ⟨ui,uj⟩\langle u_i,u_j\rangle。因此，这些列构成 Cn\mathbb C^n 的一组标准正交基；各行同样构成一个标准正交向量组。由此，酉矩阵可视为标准正交坐标系之间的坐标变换矩阵。(ocw.mit.edu)

几何意义与例子

作为复向量空间上的线性映射，酉矩阵是双射的等距映射。它保持长度、距离和正交性不变，但并不要求坐标本身保持不变。特别地，

∥Ux−Uy∥2=∥x−y∥2.\|Ux-Uy\|_2=\|x-y\|_2.

将范数保持性质应用于 x−yx-y，即可直接得到这一结论。(quantum.cloud.ibm.com)

若所有元素均为实数，共轭转置就退化为普通转置。此时，酉性条件变为 UTU=IU^TU=I，这正是正交矩阵的定义。因此，平面旋转和反射所对应的矩阵都是实数情形下的酉矩阵例子。(netlib.org)

简单的复数例子是对角相位矩阵：

D=diag⁡(eiθ1,…,eiθn),θj∈R.D=\operatorname{diag}(e^{i\theta_1},\ldots,e^{i\theta_n}), \qquad \theta_j\in\mathbb R.

由于每个对角元素的模均为一，直接相乘可得 D†D=ID^\dagger D=I。一个常见的二维例子是阿达玛矩阵

H=12(111−1),H=\frac1{\sqrt2} \begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix},

它满足 H†H=IH^\dagger H=I。与对角相位矩阵不同，它会将输入的各个坐标混合起来。(quantum.cloud.ibm.com)

代数性质与谱性质

酉矩阵的乘积和逆矩阵仍是酉矩阵。例如，

(UV)†(UV)=V†U†UV=I.(UV)^\dagger(UV)=V^\dagger U^\dagger UV=I.

单位矩阵也是酉矩阵，因此这些矩阵在乘法运算下构成一个群，称为酉群 U(n)U(n)。其中行列式为一的矩阵构成的子群记为 SU(n)SU(n)。(math.mit.edu)

对 U†U=IU^\dagger U=I 两边取行列式，得到

det⁡U‾det⁡U=1,\overline{\det U}\det U=1,

因此 ∣det⁡U∣=1|\det U|=1。这是必要条件，而非充分条件：对角元素为 22 和 1/21/2 的对角矩阵，其行列式为一，却不保持长度不变。这些结论都可直接由定义等式推出。(quantum.cloud.ibm.com)

每个酉矩阵都是正规矩阵，因为 U†U=UU†U^\dagger U=UU^\dagger。因此，谱定理保证它可以进行酉矩阵对角化：

U=VDV†,D=diag⁡(λ1,…,λn).U=VDV^\dagger, \qquad D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n).

它的所有特征值的模均为一：若 Ux=λxUx=\lambda x 且 x≠0x\ne0，则由范数保持性质可得 ∥x∥=∣λ∣∥x∥\|x\|=|\lambda|\|x\|。因此，每个特征值都可写为 eiθje^{i\theta_j}，而在由特征向量组成的标准正交基下，UU 的作用就是对各个坐标分别乘以相位因子。(ocw.mit.edu)

数值计算

酉变换在数值线性代数中十分重要，因为它们不会放大以欧几里得范数衡量的已有误差。这有助于保障数值稳定性，不过在浮点运算中执行这些变换时，仍可能引入舍入误差。(netlib.org)

在复矩阵的完整QR分解中，因子 QQ 是酉方阵，另一个因子则为三角矩阵或梯形矩阵。在奇异值分解

A=PΣQ†A=P\Sigma Q^\dagger

中，PP 和 QQ 都是酉矩阵，Σ\Sigma 中包含非负的奇异值。对于酉矩阵，所有奇异值均等于一；因此，它在谱范数下的条件数为一。(netlib.org)

量子信息与矩形矩阵

在有限维量子力学中，孤立系统的可逆演化由酉矩阵表示。归一化的态向量在演化后仍保持归一化，但其概率幅和测量概率可能发生变化。作用于 kk 个量子比特的量子门由一个 2k×2k2^k\times2^k 的酉矩阵表示。测量和一般的含噪过程，通常不能用仅作用于该系统的酉矩阵来描述。(quantum.cloud.ibm.com)

方阵这一要求将酉矩阵与表示等距映射的矩形矩阵区分开来。若一个 m×nm\times n 矩阵 QQ 在 m>nm>n 时满足 Q†Q=InQ^\dagger Q=I_n，它保持输入向量的范数不变，但不可能满足 QQ†=ImQQ^\dagger=I_m。此时，QQ†QQ^\dagger 是到其列空间上的正交投影。这类矩阵可作为简化 QR 分解中的 QQ 因子出现；按照要求矩阵为方阵的严格定义，它们不是酉矩阵。(quantum.cloud.ibm.com)