行列式是定义在方矩阵上的标量值函数，在线性代数中占有核心地位。它记作 (\det(A)) 或 (|A|)，可用于判定矩阵是否可逆，并描述相应线性变换对体积的缩放作用。与矩阵本身不同，行列式只是一个数。它的代数性质将矩阵乘法、线性相关性和线性方程的求解联系起来；它的几何解释则将这些运算与面积、体积及定向的变化联系起来。(textbooks.math.gatech.edu)
定义与基本示例
对于定义在域（数学）（例如实数域或复数域）上的矩阵，行列式可以刻画为满足以下三个条件的唯一函数：对每一列分别具有线性性；当两列相同时取值为零；在单位矩阵上取值为 (1)。对各列分别具有线性性，意味着它是关于各列的多重线性映射，而不是关于整个矩阵的线性函数。以行代替列给出的等价定义会得到相同的值。(textbooks.math.gatech.edu)
对于 (1\times1) 矩阵，行列式就是其唯一的元素。对于 (2\times2) 矩阵，
[ A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}, \qquad \det(A)=ad-bc. ]
因此，
[ \det\begin{pmatrix}2&1\3&4\end{pmatrix}=8-3=5. ]
上三角矩阵或下三角矩阵的行列式等于其对角线元素的乘积。对角矩阵也属于这种情况，其行列式公式一目了然。(textbooks.math.gatech.edu)
代数性质
初等行变换对行列式的影响有明确的规律：
- 交换两行，行列式变号。
- 将某一行乘以标量 (c)，行列式也乘以 (c)。
- 将某一行的倍数加到另一行，行列式不变。
同样的规则也适用于列。特别地，如果有两行相同、存在零行，或某一行可以表示为其他行的线性组合，行列式就必为零。将一个 (n\times n) 矩阵的每一行都乘以 (c)，可得 (\det(cA)=c^n\det(A))。(math.mit.edu)
对于同阶方阵，
[ \det(AB)=\det(A)\det(B), \qquad \det(A^{\mathsf T})=\det(A), ]
其中 (A^{\mathsf T}) 表示 (A) 的矩阵转置。如果逆矩阵存在，由乘法性质可得
[ \det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}. ]
相比之下，行列式一般不具有可加性：(\det(A+B)) 不一定等于 (\det(A)+\det(B))。多重线性性仅适用于其他行或列保持不变的情形。(textbooks.math.gatech.edu)
可逆性与线性方程组
在域上，一个 (n\times n) 矩阵可逆，当且仅当其行列式非零。这等价于它的各列线性无关、它的矩阵的秩为 (n)，以及它的零空间只含零向量。从几何角度看，行列式为零表明该变换至少使空间损失一个维度。(textbooks.math.gatech.edu)
对于线性方程组 (Ax=b)，行列式非零保证任意右端向量 (b) 都对应唯一解。克拉默法则将解的各分量表示为
[ x_i=\frac{\det(A_i)}{\det(A)}, ]
其中 (A_i) 是将 (A) 的第 (i) 列替换为 (b) 后得到的矩阵。如果行列式为零，方程组可能无解，也可能在实数域或复数域上有无穷多个解；具体属于哪种情形取决于右端向量。(textbooks.math.gatech.edu)
几何解释
在几何学中，实矩阵行列式的绝对值等于以其各列向量为棱所张成的平行多面体的体积。在二维情形下，这就是平行四边形的面积；在三维情形下，则是通常意义上的体积。因此，线性变换 (x\mapsto Ax) 会将 (n) 维体积乘以 (|\det(A)|)。(textbooks.math.gatech.edu)
对于非奇异实矩阵，行列式为正表示保持定向，为负表示反转定向。行列式为零则表示将空间压缩到一个更低维的像空间中。例如，对角矩阵 (\operatorname{diag}(2,3)) 将面积扩大为原来的六倍，而 (\operatorname{diag}(-1,1)) 对平面进行反射，其行列式为 (-1)。这些解释说明了为什么复合变换的体积缩放因子等于各个变换的体积缩放因子的乘积。(textbooks.math.gatech.edu)
展开与计算
辅因子由一个较低阶的行列式与一个符号因子组成。若 (A_{\widehat i,\widehat j}) 是删除第 (i) 行和第 (j) 列后得到的矩阵，则定义
[ C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(A_{\widehat i,\widehat j}). ]
沿第 (i) 行展开可得
[ \det(A)=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}. ]
沿任意一列展开同样成立。这一递归公式适用于符号表达式以及含有大量零元素的矩阵，但随着矩阵阶数增大，不加限制地进行递归展开会带来高昂的计算成本。(textbooks.math.gatech.edu)
高斯消元法通过将矩阵化为三角形式，并记录行交换和行的倍乘操作，来更高效地计算行列式。标准稠密矩阵消元所需算术运算次数的计算复杂性为 (O(n^3))。在数值线性代数中，LU分解提供了一种实用的实现方式：三角因子给出对角线元素的乘积，行置换则决定符号。(textbooks.math.gatech.edu)
使用浮点运算时，对角线元素的乘积可能上溢或下溢。一种替代方法是将符号（复数情形下为相位）与 (\log|\det(A)|) 分开存储，从而避免直接表示完整的乘积。(numpy.org)
特征值与微积分
[ p_A(t)=\det(tI-A) ]
是一个 (n) 次多项式，其根就是矩阵的特征值，按代数重数计数。在复数域上，无论矩阵是否可对角化，这些特征值的乘积都等于 (\det(A))。(textbooks.math.gatech.edu)
在多元微积分中，雅可比矩阵的行列式描述可微坐标变换在局部对体积的带符号缩放。其绝对值给出了积分换元公式中的体积修正因子，在满足该定理的正则性和可逆性条件时，将线性变换的体积解释推广到非线性映射。(textbooks.math.gatech.edu)