多重线性映射 · aiwiki.page

多重线性映射是从若干个向量空间到另一个向量空间的函数，它对每个自变量分别都是线性的。所有空间都定义在同一个域（数学）上，例如实数域或复数域。多重线性将线性映射的概念推广到多个输入，但通常并不意味着该映射在整个乘积空间上是线性的。这类映射将线性代数与张量及张量积理论联系起来。(math.stanford.edu)

定义与基本性质

设 $V_1,\ldots,V_n,W$ 是域 $K$ 上的向量空间，其中 $n\geq1$ 。若映射

f:V_1\times\cdots\times V_n\longrightarrow W

对每个位置 $i$ 、任意 $u,v\in V_i$ 以及任意 $a,b\in K$ ，都满足

f(v_1,\ldots,au+bv,\ldots,v_n) = a f(v_1,\ldots,u,\ldots,v_n) +b f(v_1,\ldots,v,\ldots,v_n),

则称 $f$ 是多重线性的，或 $n$ 重线性的。在这一等式中，其余自变量保持不变。因此，映射对每个自变量都独立地保持线性组合。当 $n=1$ 时，这一定义退化为通常的线性；当 $n=2$ 时，它定义的就是双线性映射。取值为标量的多重线性映射，即 $W=K$ 的情形，称为多重线性形式。(math.stanford.edu)

反复应用定义可得

f(a_1v_1,\ldots,a_nv_n) =(a_1\cdots a_n)f(v_1,\ldots,v_n).

此外，只要任一自变量为零，输出就为零。固定一个自变量后，所得映射对其余自变量仍是多重线性的。对于定义域和陪域给定的多重线性映射，逐点定义的加法与标量乘法使其全体构成一个向量空间。(math.stanford.edu)

分别线性与整体线性

笛卡尔积 $V_1\times\cdots\times V_n$ 本身具有按分量定义的向量空间运算。然而，多重线性不同于相对于这些运算的线性。对于双线性映射 $B$ ，

B(u+u',v+v') = B(u,v)+B(u,v')+B(u',v)+B(u',v').

其中两个交叉项通常使映射不满足乘积空间上的线性映射所要求的整体可加性。同样，

B(cu,cv)=c^2B(u,v),

而不是 $cB(u,v)$ 。(stanford.edu)

定义在 $K\times K$ 上的函数 $B(x,y)=xy$ 说明了这一区别：固定任一输入后，它都是另一个输入的线性函数；但若将两个输入同时乘以某个标量，输出则按该标量的平方缩放。更一般地，将多重线性映射的各个自变量写成和式后展开，每一种从各自变量中各选一个加数的组合都会产生一项。这种对各个自变量独立满足分配律的性质，是多重线性计算的核心。(math.stanford.edu)

示例

实内积是一种双线性形式。用坐标表示时，定义在 $K^p\times K^q$ 上的标量值双线性映射可写为

B(x,y)=x^{\mathsf T}Ay,

其中 $A$ 是一个 $p\times q$ 矩阵。复内积则是半双线性的：它对一个自变量是线性的，对另一个自变量是共轭线性的，因此一般不是复数域上的双线性映射。(math.mit.edu)

将 $m\times m$ 矩阵的各列视为彼此独立的向量自变量时，其行列式是一个 $m$ 重线性形式。它还具有交错性：若两列相同，行列式就为零。这些性质与归一化条件 $\det I=1$ 一起，唯一确定了行列式。这里的多重线性针对的是各个列向量，而不是将矩阵看作单一输入时的线性。(web.mit.edu)

另一个例子是求值配对

V^*\times V\longrightarrow K,\qquad (\lambda,v)\longmapsto\lambda(v),

其中 $V^*$ 是由 $V$ 上的线性泛函构成的对偶空间。泛函的乘积同样给出多重线性形式：

(v_1,\ldots,v_n)\longmapsto \lambda_1(v_1)\cdots\lambda_n(v_n).

(stanford.edu)

坐标与维数

假设每个 $V_j$ 都有一组有限的基 $e^{(j)}_1,\ldots,e^{(j)}_{d_j}$ 。写成

v_j=\sum_{i_j=1}^{d_j}x^{(j)}_{i_j}e^{(j)}_{i_j}

并展开，可得

f(v_1,\ldots,v_n)= \sum_{i_1,\ldots,i_n} x^{(1)}_{i_1}\cdots x^{(n)}_{i_n} f(e^{(1)}_{i_1},\ldots,e^{(n)}_{i_n}).

因此， $f$ 由它在各组基向量上的取值唯一确定。反过来，任意指定这些取值，都可以通过这一公式定义一个多重线性映射。(math.mit.edu)

若 $W$ 的维数为有限的 $r$ ，则这类映射构成的空间的维数为

r\,d_1\cdots d_n.

选定输出空间的一组基后，可以用一个多维数组表示该映射，其中每个输入对应一个指标，输出也对应一个指标。这个数组依赖于所选的基，而其所表示的多重线性映射本身与基的选择无关。(math.mit.edu)

张量积与张量

张量积将多重线性问题转化为线性问题。其泛性质表明，每个多重线性映射 $f$ 都可以通过一个唯一的线性映射

\widetilde f:V_1\otimes\cdots\otimes V_n\longrightarrow W

分解，并满足

\widetilde f(v_1\otimes\cdots\otimes v_n)=f(v_1,\ldots,v_n).

这一对应关系对无限维向量空间同样成立。(math.stanford.edu)

当输入空间均为有限维时，多重线性映射构成的空间与

V_1^*\otimes\cdots\otimes V_n^*\otimes W

典范同构。特别地，标量值多重线性形式对应于协变张量。将多重线性映射空间等同于上述对偶空间的张量积时，有限维假设是重要的；而前述泛分解并不需要这一假设。(math.stanford.edu)

对称性与微分

对于定义在 $V^n$ 上的映射，对称性是指它在自变量的任意置换下保持不变。交错映射在任意两个自变量相同时取值为零，并且在交换两个自变量时变号。这些结构是微分形式的基础；微分形式在一点处的值，是该点的切空间上的交错多重线性形式。(math.stanford.edu)

多重线性映射也用于描述高阶导数。对于有限维实向量空间之间足够光滑的函数，其在一点处的 $n$ 阶导数是一个对称的 $n$ 重线性映射。将该映射的所有自变量都取为同一个增量，再乘以因子 $1/n!$ ，便得到多元泰勒级数展开中的 $n$ 次项。(math.stanford.edu)