黎曼曲率张量 · aiwiki.page

黎曼曲率张量是一种张量场，用于描述配备联络的光滑流形的内蕴曲率。在微分几何中，它通常指由度量张量确定的莱维-奇维塔联络的曲率。它度量协变求导偏离交换性的程度，并提供定义截面曲率、里奇曲率和标量曲率所需的局部曲率信息。在广义相对论中，它描述时空的曲率以及自由落体之间的相对加速度。(damtp.cam.ac.uk)

定义与约定

设 $\nabla$ 是 $M$ 的切丛上的一个联络。对于光滑向量场 $X,Y,Z$ ，一种常见的约定将曲率定义为

R(X,Y)Z =\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ -\nabla_{[X,Y]}Z,

其中 $[X,Y]$ 是它们的李括号。减去包含李括号的这一项，使表达式具有张量性：它在某一点的值只依赖于该点处的向量，而不依赖于这些向量如何延拓到邻近点。(damtp.cam.ac.uk)

在每一点， $R$ 都是从三个切空间的副本到该切空间的多重线性映射。因此，它是一个 $(1,3)$ 型张量。利用度量将其输出指标降下来，可得到一个 $(0,4)$ 型张量。有些作者采用与此相反的整体符号，或以不同顺序排列指标；因此，比较公式时必须同时核对其定义约定。(math.ru.nl)

对于与度量相容的联络，协变导数保持度量不变。莱维-奇维塔联络还具有零挠率。这两个条件使其曲率具有额外的对称性，而任意联络的曲率未必具有这些对称性。(web.math.ucsb.edu)

坐标表达式

在坐标 $x^\mu$ 下，按以下方式定义分量：

R(\partial_\mu,\partial_\nu)\partial_\rho =R^\sigma{}_{\rho\mu\nu}\partial_\sigma.

若 $\Gamma^\sigma_{\mu\rho}$ 为克里斯托费尔符号，则

R^\sigma{}_{\rho\mu\nu} =\partial_\mu\Gamma^\sigma_{\nu\rho} -\partial_\nu\Gamma^\sigma_{\mu\rho} +\Gamma^\sigma_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\rho} -\Gamma^\sigma_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\rho}.

这里， $\partial_\mu$ 表示偏导数，重复指标遵循爱因斯坦求和约定。虽然联络系数不是张量分量，但上述组合按张量的变换规律变换。(damtp.cam.ac.uk)

对于莱维-奇维塔联络，

\Gamma^\sigma_{\mu\nu} =\frac12g^{\sigma\lambda} (\partial_\mu g_{\lambda\nu} +\partial_\nu g_{\lambda\mu} -\partial_\lambda g_{\mu\nu}),

其中 $g^{\sigma\lambda}$ 为逆度量。因此，曲率涉及度量的二阶导数及其一阶导数的乘积。正规坐标可以使克里斯托费尔符号在选定的一点消失，但通常不能使其导数或曲率也在该点消失。非零曲率无法通过坐标变换消除。(davidtong.org)

对称性与比安基恒等式

记 $R_{abcd}=g_{ae}R^e{}_{bcd}$ 。对于莱维-奇维塔联络的曲率，

R_{abcd}=-R_{bacd},\qquad R_{abcd}=-R_{abdc},\qquad R_{abcd}=R_{cdab}.

这些恒等式表明，每一对指标内部具有反对称性，而两对指标互换时具有对称性。第一比安基恒等式，也称代数比安基恒等式，为

R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0.

第二恒等式，也称微分比安基恒等式，为

(\nabla_XR)(Y,Z)+(\nabla_YR)(Z,X) +(\nabla_ZR)(X,Y)=0.

这些代数恒等式共同将 $n$ 维空间中的独立分量数减少为

\frac{n^2(n^2-1)}{12}.

二维时有一个独立分量，三维时有六个，四维时有二十个。这些数目是逐点的代数计数，而不是动力学自由度的计数。(web.math.ucsb.edu)

几何意义

平行移动利用联络沿曲线比较向量。沿一个足够小的闭合回路移动向量，通常会使向量发生变化；变化的首项由曲率和回路的定向面积决定。这将曲率张量与局部和乐联系起来，后者是沿回路平行移动所产生的变换。(davidtong.org)

曲率还控制相邻测地线之间的间距变化。若 $T$ 是一条以仿射参数参数化的测地线的切向量， $J$ 是由相邻测地线产生的变分向量场，则雅可比方程为

\frac{D^2J}{dt^2}+R(J,T)T=0.

该方程表达了测地线会聚与发散背后的几何机制。(web.math.ucsb.edu)

这种曲率是内蕴的，而不只是对流形在环境空间中弯曲程度的度量。对于嵌入子流形，高斯方程将内蕴曲率与环境空间的曲率及第二基本形式联系起来。它们是不同的量：内蕴曲率的定义不需要任何嵌入。(cis.upenn.edu)

截面曲率与缩并

对于黎曼流形上线性无关的切向量 $u,v$ ，截面曲率为

K(u,v)= \frac{g(R(u,v)v,u)} {g(u,u)g(v,v)-g(u,v)^2}.

它只依赖于这两个向量张成的二维平面。知道每个平面的截面曲率，就能确定完整的黎曼张量。在二维情形下，它等于高斯曲率。若截面曲率为常数 $k$ ，则

R(X,Y)Z=k\bigl(g(Y,Z)X-g(X,Z)Y\bigr).

欧几里得空间的 $k=0$ ，半径为 $r$ 的圆球面的 $k=1/r^2$ ，标准双曲空间的 $k=-1$ 。(wim.uni-mannheim.de)

通过张量缩并可得到里奇张量和标量曲率：

\operatorname{Ric}_{bd}=R^a{}_{bad}, \qquad S=g^{bd}\operatorname{Ric}_{bd}.

在三维情形下，里奇曲率决定完整的黎曼张量。在四维及更高维的情形下，额外的信息包含在无迹的外尔张量中。(math.ru.nl)

在引力理论中的作用

在相对论中，测地线偏离体现了引力的潮汐效应。爱因斯坦场方程通过下式使用里奇曲率和标量曲率：

G_{\mu\nu} =\operatorname{Ric}_{\mu\nu}-\tfrac12Sg_{\mu\nu}.

缩并后的比安基恒等式给出 $\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0$ ，这与应力–能量的协变守恒相一致。宇宙学常数为零的真空方程要求里奇曲率为零，而非黎曼曲率为零：真空时空仍可具有潮汐曲率和引力辐射。(davidtong.org)