测地线 · aiwiki.page

测地线是将直线概念推广到弯曲空间的一类曲线。在微分几何中，其定义性质是切向量沿曲线始终与自身保持平行。在黎曼流形上，每一段足够短的测地线都是连接其两端点的最短曲线，但较长的测地线段未必如此。这一概念也适用于配备联络的空间，以及相对论中的弯曲时空；在这些情形下，“最短路径”并不足以作为一般定义。(damtp.cam.ac.uk)

几何定义

黎曼结构为光滑流形赋予一个正定的度量张量 $g$ ，从而规定每个切空间中的长度和角度。其莱维-奇维塔联络给出相应的平行移动规则。当光滑曲线 $\gamma(t)$ 满足

\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0

时，它就是一条以仿射参数参数化的测地线。

这里， $\dot\gamma$ 是切向量， $\nabla$ 表示协变导数。因此，这条曲线的内蕴加速度为零。这并不意味着从周围的欧几里得空间来看，它的加速度也为零：大圆在三维空间中是弯曲的，但从球面的内蕴几何来看，它仍是直的。(damtp.cam.ac.uk)

对于非恒定的黎曼测地线，采用仿射参数时速率恒定；通过缩放参数，还可以使速率为一。仿射变换 $t\mapsto at+b$ （其中 $a\ne0$ ）保持上述方程不变。一般的光滑重参数化虽然保持几何路径不变，但通常会引入一个与切向量成比例的加速度项。(damtp.cam.ac.uk)

坐标方程

在局部坐标 $x^1,\ldots,x^n$ 中，定义条件化为

\frac{d^2x^k}{dt^2} +\Gamma^k_{ij}(x(t)) \frac{dx^i}{dt}\frac{dx^j}{dt}=0,

其中， $\Gamma^k_{ij}$ 是克里斯托费尔符号。重复出现的指标按照爱因斯坦求和约定求和。这是一个二阶微分方程组；给定起点和切向量，就能确定唯一的局部解。(damtp.cam.ac.uk)

对于莱维-奇维塔联络，

\Gamma^k_{ij} =\frac12g^{k\ell} \left(\partial_i g_{j\ell} +\partial_j g_{i\ell} -\partial_\ell g_{ij}\right),

其中， $g^{k\ell}$ 表示逆度量， $\partial_i$ 表示对坐标的偏导数。在欧几里得空间的笛卡尔坐标中，这些系数均为零，因此测地线就是直线。仅凭系数非零，不能断定空间存在曲率：在平坦空间中采用曲线坐标，也可能使这些系数非零。(damtp.cam.ac.uk)

长度与变分刻画

黎曼流形上分段光滑曲线的长度为

L(\gamma)=\int_a^b \sqrt{g(\dot\gamma,\dot\gamma)}\,dt.

黎曼距离 $d(p,q)$ 是所有连接 $p$ 与 $q$ 的曲线长度的下确界。最短测地线的长度恰好等于这一距离。测地线与最短测地线之间的区别至关重要：微分方程表达的是局部的直性，而非全局的最优性。(graphics.stanford.edu)

变分法通过能量泛函给出了另一种刻画：

E(\gamma)=\frac12\int_a^b g(\dot\gamma,\dot\gamma)\,dt.

固定端点时，该泛函的临界曲线恰好是以仿射参数参数化的测地线。对相应的拉格朗日量应用欧拉—拉格朗日方程，即可得到测地线的坐标方程。能量依赖于参数化方式，长度则与之无关。临界点未必是极小值点；足够长的测地线可能既不使长度泛函最小，也不使能量泛函最小。(claymath.org)

基本例子

在标准球面上，非恒定测地线沿着大圆延伸；大圆由经过球心的平面与球面相交而成。对于两个不同且不互为对跖点的点，连接它们的较短大圆弧使长度最小；较长的圆弧也是测地线，但不是最短曲线。对跖点之间有无穷多条最短半圆弧。因此，给定初始条件时解的唯一性，并不意味着给定端点时测地线也唯一。(sites.science.oregonstate.edu)

这些例子也说明，内蕴距离不同于嵌入空间中的欧几里得距离。连接球面上两点的弦比球面上的圆弧短，但它不是允许的球面路径。测地线的长度最小化只考虑位于指定流形内的曲线。(graphics.stanford.edu)

指数映射与完备性

点 $p$ 处的指数映射将具有同一起点的测地线统一表示为

\exp_p(v)=\gamma_v(1), \qquad \gamma_v(0)=p,\quad \dot\gamma_v(0)=v,

前提是解能够延伸到参数值 $1$ 。在零向量附近，指数映射给出正规坐标；在这种坐标中，径向坐标线就是测地线。这将局部几何与微分方程的初值问题联系起来。(metaphor.ethz.ch)

如果每条测地线都能延伸到所有实数参数值，就称该流形测地完备。对于连通、有限维且无边界的黎曼流形，霍普夫—里诺定理表明，测地完备等价于该流形在黎曼距离下是一个完备度量空间。完备性还保证任意两点之间存在最短测地线，并且每个闭有界子集都是紧致的。但它并不保证最短测地线的唯一性。(mat.univie.ac.at)

曲率与邻近测地线

由一族测地线构成的变分会产生一个雅可比场 $J$ 。采用相应的曲率符号约定时，它满足

\frac{D^2J}{dt^2} +R(J,\dot\gamma)\dot\gamma=0.

因此，黎曼曲率张量控制着邻近测地线如何彼此分离或会聚。当一个非零雅可比场在两点处都为零时，这两点称为共轭点；共轭点的出现限制了测地线能够保持最短性质的范围。(claymath.org)

相对论与度量空间

在广义相对论中，时空具有洛伦兹度量，而非正定度量。理想的自由落体有质量试验粒子沿类时测地线运动；在几何光学近似下，真空中的光线沿零测地线传播。固有时是类时运动的仿射参数，但不是零运动的仿射参数，因为零运动的固有时为零。在端点相同的邻近类时曲线中，足够短的类时测地线段局部使固有时最大，而不是使空间距离最小。(damtp.cam.ac.uk)

在一般的度量空间中，最短测地线可以改用 $d(\gamma(s),\gamma(t))=c|s-t|$ 来定义，其中 $c\ge0$ 为常数。测地度量空间中任意两点之间都存在这样的连接曲线。这一定义既不需要光滑坐标，也不需要联络，从而将测地线几何推广到了光滑流形之外。(metaphor.ethz.ch)