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数学 / non-euclidean-geometry

非欧几何

非欧几何研究不同于欧几里得几何的空间，尤其是平行线规则不同的双曲空间和椭圆空间。

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非欧几何主要指以其他假设取代欧几里得平行公设的几何学体系。其经典形式是双曲几何和椭圆几何，分别对应常负曲率和常正曲率。这些体系在数学上自洽，是普通欧几里得空间几何之外的另一类几何，而不是该几何内部的矛盾。在更广泛的用法中，这一术语也涵盖通过黎曼几何研究的弯曲空间。距离、角度和“直线”取决于空间的结构，不一定与它们在图示中的外观相符。(mphitchman.com)

公理与平行线

在欧几里得的《几何原本》中，第五公设规定了两条直线被一条截线所截后会在何种条件下相交。在通常的欧几里得几何框架中，它的一种等价表述是：过一条已知直线外的一点，恰好有一条直线不与已知直线相交。由于这一公设较为复杂，数百年来，人们不断尝试从更简单的假设中推导出它。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

双曲几何则允许过这样的点存在无穷多条不与已知直线相交的直线。椭圆几何中，这样的直线一条也不存在：任意两条不同的完整直线都相交。椭圆几何这一替代体系还改变了欧几里得几何的其他特征，包括直线的整体性质和点之间的介于关系；它不能仅仅去掉第五公设，而保留其余全部欧几里得公理。尤其是，椭圆几何中的直线是闭合的，并不像普通直线那样无限延伸且具有相同的次序性质。(mphitchman.com)

几何模型在满足相关公理的同时，为点、直线和距离赋予具体含义。模型所确立的是相对相容性：如果模型所表示的几何体系中存在矛盾，那么构建该模型所用的数学框架中也必然存在矛盾。这不同于无条件地证明任何矛盾都不可能出现。(mphitchman.com)

历史发展

卡尔·弗里德里希·高斯研究过平行公设的替代假设，但没有发表系统性的论述。尼古拉·罗巴切夫斯基和鲍耶·亚诺什各自独立开展了研究：罗巴切夫斯基于1829年发表了有关这种新几何的成果，鲍耶则于1832年在其父亲数学著作的附录中阐述了自己的理论。他们的成就在于推演替代假设的各种结果，而不再仅仅试图从中找出矛盾。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

波恩哈德·黎曼于1854年发表的就职演讲，将几何学拓展到具有长度测量规则的空间。1868年，欧杰尼奥·贝尔特拉米给出了一些解释，将双曲几何与负曲率曲面及几何模型联系起来。此后，菲利克斯·克莱因运用射影几何发展了相关模型。这些进展帮助人们区分两个不同的问题：一种几何在逻辑上是否成立，以及它是否描述了物理空间。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

双曲几何及其模型

双曲平面是具有常负高斯曲率的完备、单连通曲面。其中的直线是测地线，即在内蕴意义上笔直、且局部使距离最短的路径。两个不同的点确定唯一一条完整直线，但互不相交的直线不一定像欧几里得几何中的平行线那样处处等距。在经过直线外一点的所有直线中，两条极限平行线将与已知直线相交的直线和其余不相交的直线分隔开来。(sites.math.duke.edu)

庞加莱圆盘模型将这个无限平面表示在一个欧几里得开圆盘内。双曲直线在图中表现为直径，或与圆盘边界正交的圆弧。边界本身不属于双曲平面，按双曲距离衡量，它位于无限远处。这个模型保留角度，却不保留欧几里得长度：双曲几何中大小相同的图形，越靠近边缘，在图中就显得越小。(pi.math.cornell.edu)

当曲率归一化为 −1-1 时，其度量张量给出的线元为

ds2=4(dx2+dy2)(1−x2−y2)2,x2+y2<1.ds^2=\frac{4(dx^2+dy^2)}{(1-x^2-y^2)^2}, \qquad x^2+y^2<1.

不断增大的尺度因子解释了为什么一幅有界的图能够表示一个无界的度量空间。贝尔特拉米–克莱因模型则以不同方式使用圆盘：测地线在图中表现为直弦，但角度通常会失真。这些表示方式通过不同的坐标描述了同一种内蕴几何。(sites.math.duke.edu)

椭圆几何与球面几何

球面几何提供了一个熟悉的正曲率例子。在球面上，测地线是大圆，任意两个不同的大圆都相交于两个对跖点。两个对跖点位于无穷多个大圆上，因此，球面在整体上并不满足“两个不同的点恰好确定一条直线”这一规则。(math.toronto.edu)

椭圆平面通过将每一对对跖点视为同一个点来解决这一问题。它是配备了从球面继承的度量的实射影平面。大圆成为椭圆几何中的直线；两条不同的直线相交于一个点，两个不同的点确定一条直线。因此，球面几何与椭圆几何具有相同的局部曲率性质，但整体拓扑学性质不同。(math.toronto.edu)

三角形与曲率

曲率会改变基本的度量规律。欧几里得三角形的内角和为 π\pi 弧度。双曲三角形的内角和更小，而由适当的大圆弧围成的球面三角形，内角和则更大。在常曲率为 KK 的曲面上，若一个测地三角形围成的区域与圆盘同胚，则有

α+β+γ−π=KA,\alpha+\beta+\gamma-\pi=KA,

其中 AA 为该区域的面积。这是高斯—博内定理的一个特例，将曲率与角盈或角亏联系起来。(lamington.wordpress.com)

当 K=−1/R2K=-1/R^2 时，面积为 R2(π−α−β−γ)R^2(\pi-\alpha-\beta-\gamma)。双曲圆也不遵循欧几里得几何中的圆周长公式：半径为 rr 的圆，其周长为 2πRsinh⁡(r/R)2\pi R\sinh(r/R)，其中涉及双曲函数。当 rr 远小于 RR 时，这一表达式趋近于 2πr2\pi r，体现了局部的欧几里得近似。(sites.math.duke.edu)

更广泛的几何与物理背景

微分几何将这些思想推广到曲率可变的流形。理解内蕴曲率，并不需要将空间想象成在更高维欧几里得环境中弯曲的形状。在广义相对论中，引力通过时空的几何来描述。时空的洛伦兹度量不同于经典双曲几何和椭圆几何的正定度量，因此，相对论中的时空并不等同于其中任何一种经典空间。(einstein-online.info)