射影几何 · aiwiki.page

射影几何是几何学的一个分支，研究射影变换下保持不变的性质。其核心对象是点、直线、平面及其关联关系，即哪些点位于哪些直线或平面上，以及这些对象如何相交。与欧几里得几何不同，射影几何不把长度、角度或平行性视为基本不变量。受透视法启发，它引入无穷远点，并提供了一个统一框架，使许多看似不同的几何构型呈现出相同的内在结构。(vision.stanford.edu)

射影空间与齐次坐标

标准的代数构造从域（数学） $F$ 上的向量空间 $V$ 出发。与之对应的射影空间记为 $\mathbb P(V)$ ，是 $V$ 的所有一维线性子空间组成的集合。若 $V$ 的维数为 $n+1$ ，则 $\mathbb P(V)$ 的射影维数为 $n$ ，通常记为 $\mathbb P^n(F)$ 。因此，射影点对应的是底层向量空间中穿过原点的整条直线，而不是单个向量。(people.maths.ox.ac.uk)

选定一组基后，点可用齐次坐标表示为

[x_0:x_1:\cdots:x_n],

其中各坐标不全为零，且

[x_0:\cdots:x_n] = [\lambda x_0:\cdots:\lambda x_n] \qquad(\lambda\ne0).

因此，方括号表示非零向量在非零标量乘法下的一个等价类。射影直线是二维线性子空间的射影化；射影平面则由三维子空间得到。关联关系转化为向量子空间之间的包含关系，从而将射影几何与线性代数直接联系起来。(people.maths.ox.ac.uk)

仿射坐标图与无穷远点

在射影平面中，采用坐标 $[X:Y:W]$ 。满足 $W\ne0$ 的点可唯一地写为

[x:y:1],\qquad x=X/W,\quad y=Y/W.

这些点构成一个仿射平面。其余满足 $W=0$ 的点构成无穷远直线，其中每个点代表一族仿射平行直线的方向。例如，当 $b_1\ne b_2$ 时，直线 $y=mx+b_1$ 和 $y=mx+b_2$ 在射影平面中相交于 $[1:m:0]$ 。(courses.maths.ox.ac.uk)

“无穷远”取决于所选的坐标图。换用另一套射影坐标系，原先的无穷远点可以变为有限点。射影空间本身并不区分这两类点。此外，任意两条不同直线都相交的说法适用于射影平面；在三维射影空间中，直线仍可能是异面直线。(courses.maths.ox.ac.uk)

变换与不变量

可逆线性映射 $A:V\to V$ 诱导出射影变换

[v]\longmapsto[Av].

将 $A$ 乘以非零标量，得到的仍是同一个变换。因此，在实射影平面中，一个可逆的 $3\times3$ 矩阵表示具有八个独立参数的变换。这种平面变换通常称为单应变换。给定四对有序的对应点，只要两组点中各自都没有三点共线，就能唯一确定该变换。(ai.stanford.edu)

射影变换保持关联关系、共线性和共点性，但通常会改变长度、角度、中点和平行性。由方程 $\ell^{\mathsf T}x=0$ 表示的直线按如下规则变换：

\ell'=A^{-\mathsf T}\ell,

而点的变换规则为 $x'=Ax$ 。这一逆转置规则保证变换后的点仍位于相应的变换后直线上。(ai.stanford.edu)

射影变换群包含仿射变换群和欧几里得变换群，后两者是限制条件更严格的子群。要求变换保持选定的无穷远超平面，就得到仿射几何；欧几里得几何则还需要额外的度量结构。这一层级关系体现了菲利克斯·克莱因提出的爱尔朗根纲领，该纲领通过变换群及其不变量来刻画各种几何。(people.maths.ox.ac.uk)

交比

射影直线上四个不同点的主要数值不变量是它们的交比。若其仿射坐标为 $a,b,c,d$ ，一种定义约定为

(A,B;C,D) = \frac{(c-a)(d-b)}{(c-b)(d-a)}.

这里的差是带符号的量，而不是无符号的距离。点的顺序十分重要，不同的约定可能给出互为倒数或具有其他关系的表达式。若其中有无穷远点，可以取相应的极限，也可以直接使用齐次坐标处理。(people.maths.ox.ac.uk)

在射影直线上，变换具有分式线性形式：

t\longmapsto\frac{\alpha t+\beta}{\gamma t+\delta}, \qquad \alpha\delta-\beta\gamma\ne0.

将此表达式代入交比公式，额外的因子会相互约去。因此，普通的线段长度比可能在透视下发生变化，交比却保持不变。交比也为四条共点直线提供了一个不变量：用任意一条不经过其公共交点的截线与它们相交，再取所得四个交点的交比。(vision.stanford.edu)

对偶性

射影对偶将射影平面中的点与直线互换，同时反转关联关系。“两个不同点确定唯一一条直线”这一命题，与“两条不同直线相交于唯一一个点”这一命题互为对偶。点的共线性对应于直线的共点性。因此，将一个定理应用于对偶平面，就能得到相应的对偶定理。(courses.maths.ox.ac.uk)

从代数角度看， $\mathbb P(V)$ 中的超平面对应于 $\mathbb P(V^*)$ 中的点，其中 $V^*$ 是对偶空间。一个超平面是某个非零线性泛函的核，而相差非零标量倍数的泛函视为相同。在射影维数为 $n$ 的空间中， $k$ 维子空间的对偶子空间维数为 $n-k-1$ 。因此，在三维射影空间中，点与平面互为对偶，直线则与直线对偶。(people.maths.ox.ac.uk)

圆锥曲线与经典定理

射影圆锥曲线由齐次二次方程定义。在实数域或复数域上，它可写为

x^{\mathsf T}Cx=0,

其中 $C$ 为对称矩阵；当 $C$ 可逆时，该曲线是非奇异的。所有具有实点的非奇异实圆锥曲线都射影等价。它们在仿射平面中的形态取决于所选的无穷远直线：椭圆与无穷远直线没有实交点，抛物线与之相切，双曲线则与之相交于两个不同的实点。因此，这些熟悉的类型并不属于不同的射影等价类。(people.maths.ox.ac.uk)

非奇异圆锥曲线还定义了一种将点与直线联系起来的极性对应。对于由 $p$ 表示的点，其极线方程为 $p^{\mathsf T}Cx=0$ ；当 $p$ 位于圆锥曲线上时，这条极线就是该点处的切线。这一对应将对偶性与二次型联系起来。(people.maths.ox.ac.uk)

若干经典结果体现了射影几何对关联关系的重视：

**笛沙格定理：**若连接两个三角形对应顶点的直线共点，则其对应边的交点共线，前提是该构型非退化。
**帕普斯定理：**设 $A,B,C$ 和 $A',B',C'$ 分别是两条直线上的三点，在通常的各点互异条件下，交点 $AB'\cap A'B$ 、 $AC'\cap A'C$ 和 $BC'\cap B'C$ 共线。
**帕斯卡定理：**非奇异圆锥曲线上的六个点构成一个六边形，其三组对边的交点共线。其对偶定理为布里安雄定理：对于外切于圆锥曲线的六边形，连接相对顶点的三条对角线共点。(courses.maths.ox.ac.uk)

这些命题也涵盖无穷远处的交点，从而不必像仿射表述那样，另外处理平行直线的例外情形。(math.ucr.edu)

公理化射影几何与有限射影几何

射影几何也可以不从坐标出发，而以公理为基础，用综合方法建立。一个射影平面由点、直线以及满足以下条件的关联关系组成：

任意两个不同点恰好位于一条直线上。
任意两条不同直线恰好相交于一个点。
存在四个点，其中任意三点都不共线。(math.ucr.edu)

仅凭这些公理，并不能保证该平面来自某个域上的向量空间。笛沙格平面可以在除环上建立坐标，而除环的乘法不一定满足交换律；非笛沙格平面也确实存在。帕普斯定理则刻画了能够在交换域上建立坐标的平面。因此，利用域上的坐标证明的结果，未必在每一个抽象射影平面中都成立。(math.ucr.edu)

在具有 $q$ 个元素的有限域上，平面 $\mathrm{PG}(2,q)$ 有

q^2+q+1

个点，以及同样数量的直线；每条直线上有 $q+1$ 个点，每个点有 $q+1$ 条直线通过。当 $q=2$ 时，得到的就是法诺平面：共有七个点和七条直线，每条直线恰有三个点，每个点恰有三条直线通过。这类结构将射影几何与组合设计联系起来。(isibang.ac.in)

历史发展

文艺复兴时期线性透视的发展，为射影方法提供了重要动力。吉拉尔·笛沙格在1639年的著作 Brouillon project 中，建立了统一处理圆锥曲线与无穷远点的方法。他的工作影响了布莱兹·帕斯卡，但当时并未得到广泛关注，其重要意义大多是在后来才被认识到的。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

让-维克托·蓬斯莱于1822年出版的《图形的射影性质论》（Traité des propriétés projectives des figures），推动了射影几何成为一门独立学科。十九世纪的研究同时发展了综合方法和坐标方法，而克莱因的变换群观点则将射影几何纳入了更广泛的几何分类体系。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

应用与局限

在计算机视觉中，理想透视相机可用齐次坐标表示为

x\sim PX,

其中 $X$ 是三维射影空间中的点， $x$ 是其像点， $P$ 是秩为三的 $3\times4$ 相机矩阵。在适当的非退化条件下，不同相机拍摄的平面场景图像之间存在单应变换。射影方法也用于描述消失点以及多幅图像之间的几何约束。(vision.stanford.edu)

相机投影必须与可逆射影变换区分开来：它会降低维数，而且通常将一条视线上的所有点映射到同一个像点。仅凭图像的射影几何关系，无法恢复绝对长度或角度；还需要额外的标定或度量信息。(ai.stanford.edu)

在代数几何中，射影空间是由齐次多项式定义的代数簇所在的环境空间。射影闭包补入仿射描述中缺失的点，而塞格雷嵌入、韦罗内塞嵌入和普吕克嵌入等构造，则利用射影坐标来表示更复杂的空间。在这里，射影几何超越了透视与关联关系的范围，延伸到对代数方程及其解空间的研究。(people.maths.ox.ac.uk)

参考来源

ASO: Projective Geometry (2024–25) — University of Oxfordcourses.maths.ox.ac.uk
Projective Geometry — Nigel Hitchinpeople.maths.ox.ac.uk
Projective Geometry: Printed Lecture Notes — University of Oxfordcourses.maths.ox.ac.uk
An Introduction to Projective Geometry (for computer vision) — Stan Birchfieldai.stanford.edu
The Klein Programme — Nigel Hitchinpeople.maths.ox.ac.uk
Quadrics — Nigel Hitchinpeople.maths.ox.ac.uk
Incidence Geometrymath.ucr.edu
This Week's Finds in Mathematical Physics, Week 145 — John Baezmath.ucr.edu
Projective Planes — Discrete Mathematics Lecture Notesisibang.ac.in