线性透视

线性透视是一套依据固定视点所见的外观，在二维平面上表现三维物体与空间的方法。它应用于绘画和建筑表现，通过几何学组织物体的表观大小、向纵深延伸的关系以及平行线的汇聚。线性透视在意大利文艺复兴时期得到系统发展，为艺术家提供了一种可重复运用的画面空间构建方法，使他们不再只能依赖观察或凭直觉调整。(nationalgallery.org.uk)

几何原理

线性透视的基础模型是中心投影：假想的直线射线将场景中的各点连接到同一个投影中心，这个中心代表观察者的眼睛。射线与平面画面的交点，决定了各点在图像中的对应位置。因此，可以将画面理解为观看场景的一扇窗。改变视点或画面的位置，都会改变投影结果。(people.csail.mit.edu)

描述这一构造所用的术语包括：

• **画面：**呈现投影场景的平面。
• **视点：**观察者眼睛所在的位置，即投影中心。
• **灭点：**一组平行线的方向不平行于画面时，其投影趋于汇聚的图像位置。
• **视平线：**在常规的直立画面中，包含各个水平方向灭点的直线；它对应于观察者眼睛的高度。
• **纵深线：**在基本的一点透视构图中，表示垂直于画面、向纵深延伸的棱边的线。
• **透视缩短：**沿斜向或正向远离观察者延伸的尺寸，在视觉上显得缩短的现象。(en.khanacademy.org)

汇聚规则并不意味着画面中所有平行线都交于同一点。每个空间方向都有自己的灭点。平行于画面的直线，只要没有投影成单个点，在图像中就仍然保持平行。此外，灭点也可能远在可见画面的范围之外。这些性质都源于中心投影模型。(docs.opencv.org)

数学表述

在简化的坐标系中，将眼睛置于原点，将虚拟画面置于 $z=d$ 的位置，其中 $d>0$。场景中的点 $(X,Y,Z)$，在 $Z>0$ 时投影为

这些公式可由相似三角形推导出来。对于位于平行于画面的平面内的物体，其投影尺寸与深度 $Z$ 成反比：深度加倍，图像尺寸便减半。这里的深度指沿视轴测量的距离，不一定是物体到眼睛的直线距离。(scratchapixel.com)

对于方向为 $(a,b,c)$ 的一组平行线，其中 $c\ne0$，让点沿这些直线向远处延伸并取极限，可得到灭点

若 $c=0$，则该方向平行于画面，不存在有限位置的灭点。在射影几何中，这类方向以无穷远点表示。这是投影方程的数学推论。(docs.opencv.org)

虽然称为“线性”透视，但由于涉及除以深度的运算，这种映射在通常的笛卡尔坐标下并不是线性映射。不过，使用齐次坐标时，可以先用矩阵表示投影，再除以一个齐次坐标。这种表述将艺术家的透视作图方法与现代相机几何联系起来。(docs.opencv.org)

一点、两点与三点透视

常见的一点、两点和三点透视分类，描述的是长方体物体的三个主要棱边方向相对于画面的朝向。这种分类并不限制场景中灭点的总数：朝向不同的物体可能引入更多灭点。这些类别都是同一套中心投影几何的应用。(docs.opencv.org)

一点透视中，两个主要方向平行于画面，第三个方向垂直于画面。正对房间远端墙壁观看，就是典型的例子。地板、天花板和侧墙上向纵深延伸的边线汇聚于一个有限位置的灭点，而正面朝向观察者的水平边和竖直边仍保持平行。(en.khanacademy.org)

两点透视通常用于表现从角部方向观看的物体，其竖直棱边平行于画面。两个水平棱边方向分别汇聚于视平线上的两个点，而竖直棱边仍保持平行。(people.csail.mit.edu)

三点透视出现在三个主要棱边方向均不平行于画面的情况下。在保持画面直立、以较大角度仰视或俯视时，竖直棱边也会汇聚，指向视平线上方或下方的第三个灭点。直的棱边仍然是直线；新增的灭点改变的是它们的汇聚关系，而不是它们的直线性质。(docs.opencv.org)

历史发展

在文艺复兴之前，艺术家已通过形体重叠、大小变化，以及在实践中摸索出的纵深边线布局来表现深度。包括乔托和洛伦泽蒂兄弟在内的中世纪意大利画家，探索了越来越连贯的建筑空间表现。这些先行实践应与十五世纪佛罗伦萨发展出的明确几何程序加以区分。(people.csail.mit.edu)

一般认为，菲利波·布鲁内莱斯基于十五世纪初在佛罗伦萨确立了系统的线性透视方法。其发展与建筑密切相关，因为可测量的建筑物及重复出现的结构构件，为研究空间投影提供了对象。(nationalgallery.org.uk)

莱昂·巴蒂斯塔·阿尔伯蒂在 1435 年的《论绘画》（De pictura）中系统阐述了透视法。他说明了绘画如何表现连接眼睛与场景的视觉锥体的一个截面。这套论述为艺术家提供了一种作图方法，使他们能够在几何关系协调一致的空间中安排人物和建筑环境。(americanhistory.si.edu)

马萨乔绘于佛罗伦萨新圣母教堂的《圣三位一体》，是早期将透视法应用于画中建筑环境的重要范例。此后，皮耶罗·德拉·弗朗切斯卡在《绘画透视论》（De prospectiva pingendi）中研究了透视法，阿尔布雷希特·丢勒则在 1525 年的测量论著中，以图示介绍了测量和绘图装置。这些著作帮助透视法成为一种可以传授的操作程序。(people.csail.mit.edu)

透视法在欧洲各地的发展并不一致。十五世纪初的尼德兰画家也通过经验方法营造出令人信服的空间效果，却未必使用意大利所制定的作图体系。因此，透视法的历史既包含形式化的几何理论，也包含实践探索。(nationalgallery.org.uk)

作图与绘画应用

透视作图需要确定的不只是视平线和灭点，还包括视点、观看距离、物体尺寸和朝向。重复出现的元素——如地砖或建筑开间——必须依据各自的投影位置逐渐缩小；仅仅让每一段间隔比前一段略小，并不能准确确定它们的间距。阿尔伯蒂的地面铺砖作图法，以及后来利用平面图、立面图和对角线的方法，都针对这一问题提出了解法。(people.csail.mit.edu)

透视法也可以用来刻意制造依赖特定视点的错觉。在变形透视中，图像经过变形，只有从某个特定的斜向位置观看，才能辨认其内容。小汉斯·霍尔拜因的《大使们》（1533 年）中被拉长的骷髅头，就是一个著名例子。透视箱同样将绘制的表面与指定的观看位置相协调，例如塞缪尔·范·霍赫斯特拉滕约于 1655—1660 年绘制的荷兰室内场景透视箱。(nationalgallery.org.uk)

与其他深度线索及投影体系的关系

线性透视关注的是空间几何，而非距离在视觉外观上的所有表现。空气透视通过颜色、对比度或清晰度的变化表现远处物体，通常使其显得更淡或更蓝。重叠、明暗塑造、投影和纹理梯度也能提供深度线索。这些线索可以增强透视作图的效果，但并不需要相同的几何程序。(metmuseum.org)

正交投影使用相互平行的投影射线，这一点与中心投影不同。与透视投影不同，正交投影不会仅仅因为物体距离观察者更远，就让它显得更小。在数字化表现中，这一区别至关重要，透视相机和正交相机各有不同用途。(scratchapixel.com)

在摄影和计算机视觉中，理想的针孔相机提供了相应的数学模型。相机标定方法将三维场景坐标与图像坐标联系起来，同时也考虑镜头畸变等偏离理想投影的因素。在计算机图形学中，透视投影在图像渲染之前，将场景的几何形体投影到虚拟成像平面上。(docs.opencv.org)

局限性

线性透视以一个固定的投影中心为场景建立模型。因此，画面与所表现的场景能否精确对应，取决于是否从预定位置观看图像。偏离该位置，就会改变画中空间与进入观看者眼睛的光线之间的关系。变形透视图像等依赖特定视点的作品，使这一条件尤为明显。(fitz-cms-images.s3.eu-west-2.amazonaws.com)

即使投影在几何上完全正确，当它覆盖的视场非常宽，或观看条件不合适时，也可能显得变形。例如，偏离中央视线方向的球体，在平面画面上可能投影成拉长的椭圆。这类效果未必意味着作图有误，也可能是中心投影本身造成的。(people.csail.mit.edu)

透视法本身并不规定照明、表面颜色、大气效果，也不决定相互遮挡的表面中哪一个可见。这些都需要额外的绘画或计算处理。因此，透视法是一个精确的空间投影框架，而不是对视觉外观的完整描述。(people.csail.mit.edu)

参考来源

1. Perspective | Glossary | National Gallery, Londonnationalgallery.org.uk
2. The Art and Science of Depiction: Linear Perspectivepeople.csail.mit.edu
3. How one-point linear perspective worksen.khanacademy.org
4. Linear perspective interactivekhanacademy.org
5. Implementing a Virtual Pinhole Camerascratchapixel.com
6. The Ambassadors | National Gallery Catalogues: The German Paintings before 1800nationalgallery.org.uk
7. Samuel van Hoogstraten: A Peepshow with Views of the Interior of a Dutch Housenationalgallery.org.uk