微分几何是数学的一个分支，运用微积分和线性代数研究光滑曲线、曲面及高维空间。它研究度量、曲率和联络等几何结构，也研究不一定平坦的空间上的微分与积分。其核心研究对象是光滑流形：这类空间在局部类似于普通的欧几里得空间，但整体形状可能各不相同。微分几何将经典几何学的研究范围从背景坐标空间中的图形拓展出去，并将局部测量与拓扑学所研究的整体性质联系起来。(people.maths.ox.ac.uk)
历史发展
经典微分几何是在将微积分应用于曲线和曲面的过程中发展起来的。切线、弧长和曲率由此成为可以通过参数化的导数计算的量。卡尔·弗里德里希·高斯带来了关键进展：他的研究区分了曲面的内蕴几何与曲面在三维空间中的具体放置方式。他的绝妙定理表明，高斯曲率可以通过曲面内部的测量来确定。(maths.tcd.ie)
波恩哈德·黎曼在1854年关于几何学基础的演讲中，将这一观点推广到任意维空间。他不再要求一个空间必须置于更大的欧几里得空间之中，而是通过测量长度的无穷小规则来描述几何。这一方法奠定了现代研究带有几何结构的流形的基础；在这种观点下，坐标系只是描述对象的工具，而不是对象本身的定义。(maths.tcd.ie)
光滑流形与切空间
一个 (n) 维光滑流形可在局部用坐标图描述，坐标图的取值位于 (\mathbb{R}^n) 的开子集中。在坐标图重叠的区域，坐标变换是光滑的。这些相容性条件使微分不依赖于所选坐标而具有明确的意义。例如，球面是二维流形，尽管它通常被实现为三维空间中的曲面。流形并不需要由单个坐标图覆盖。(damtp.cam.ac.uk)
在每一点 (p) 处，切空间 (T_pM) 刻画了经过该点的运动所可能具有的瞬时方向。它是一个 (n) 维向量空间，流形之间的光滑映射会诱导出其切空间之间的线性映射。向量场以光滑的方式为每一点赋予一个切向量。余向量、张量和微分形式则提供了更多不依赖于坐标的对象，可在这些对象上定义几何运算。(damtp.cam.ac.uk)
区分流形本身与其附加结构十分重要。光滑性本身允许进行微分，却不能确定长度、角度或与度量相关的曲率。这些概念需要额外的几何数据。(damtp.cam.ac.uk)
度量、测地线与曲率
黎曼度量张量为每个切空间赋予一个随位置光滑变化的正定内积。它确定曲线的长度、切向量之间的夹角以及体积。在局部坐标中，无穷小长度的平方写为 [ ds^2=g_{ij},dx^i,dx^j, ] 其中重复出现的指标表示求和。黎曼几何研究配备这类度量的流形。(people.maths.ox.ac.uk)
测地线是直线的推广。采用仿射参数时，其切向量沿曲线自身保持平行。测地线在足够短的线段上局部使长度最小，但对于相距较远的端点，它不一定是最短路径。在标准球面上，测地线沿大圆延伸；足够长的大圆弧并不具有整体长度最小性。(people.maths.ox.ac.uk)
比较不同点处的向量需要借助联络。联络的协变导数在对向量场求导时，会考虑切空间随位置的变化。黎曼度量唯一确定一个无挠且与度量相容的联络，称为列维–奇维塔联络。黎曼曲率张量衡量协变导数不满足交换律的程度，其中需要对向量场的交换子作适当修正。它也描述了向量沿闭合回路平行移动所产生的无穷小效应。(damtp.cam.ac.uk)
曲线、曲面与内蕴几何
对于欧几里得空间中的正则曲线，曲率衡量单位切向量随弧长变化的快慢。对于曲率非零的空间曲线，挠率衡量其活动标架偏离固定平面的扭转程度。这些量描述了曲线局部的弯曲与扭转。(cse291-i.github.io)
曲面同时具有内蕴几何和外蕴几何。内蕴几何关注曲面内部的测量，外蕴几何则关注曲面在背景空间中的嵌入。第一基本形式就是曲面的诱导度量；第二基本形式记录曲面相对于法向方向的弯曲。在每一点处，高斯曲率等于两个主曲率的乘积。平面和圆柱面的外蕴形状虽然不同，但两者的高斯曲率都为零。(cse291-i.github.io)
高斯–博内定理将局部几何与整体拓扑联系起来。对于无边界的紧致定向曲面 (M)，有 [ \int_M K,dA=2\pi\chi(M), ] 其中 (K) 为高斯曲率，(\chi(M)) 为欧拉示性数。因此，尽管各点处的曲率依赖于度量，总曲率仍受到拓扑的约束。对于带边界的曲面，还需要加入边界项。(webhomes.maths.ed.ac.uk)
微分形式与其他几何结构
微分形式为流形上的积分提供了一种不依赖于坐标的语言。一个 (k) 次微分形式可以在定向的 (k) 维区域上积分。外微分与斯托克斯定理将区域上的积分与其边界上的积分联系起来： [ \int_M d\omega=\int_{\partial M}\omega. ] 这一框架统一了若干经典积分定理。(arxiv.org)
并非所有微分几何都是度量几何。辛几何研究配备闭的、非退化的二次微分形式的偶数维流形。这种形式为哈密顿力学中的相空间提供几何结构，将哈密顿函数的导数转化为支配运动的向量场。(damtp.cam.ac.uk)
在相对论中的广义相对论里，时空配备的是洛伦兹度量，而非正定度量。这种度量区分类时、类空和零方向。爱因斯坦场方程将时空曲率与物质和能量联系起来，使微分几何成为引力数学表述的一部分。(damtp.cam.ac.uk)