张量场 · aiwiki.page

张量场为流形或其某一区域内的每个点指定一个特定类型的张量。在微分几何中，通常假定张量场是光滑的，即其分量在任意光滑坐标系中都光滑变化。张量场推广了标量场和向量场，为描述几何和物理量提供了一种不依赖坐标的语言。场本身是一个几何对象，而表示它的分量数组则取决于所选的坐标。(damtp.cam.ac.uk)

数学定义

设 $M$ 是一个 $n$ 维光滑流形。在每个点 $p$ 处，切空间 $T_pM$ 是一个向量空间，其对偶空间 $T_p^*M$ 由余向量组成。一个 $(r,s)$ 型张量场为每个 $p\in M$ 指定一个元素

T_p\in (T_pM)^{\otimes r}\otimes(T_p^*M)^{\otimes s}.

这里， $\otimes$ 表示张量积，零次张量幂则理解为实数域。等价地， $T_p$ 是一个多重线性映射，以 $r$ 个余向量和 $s$ 个切向量为输入，输出一个标量。(math.toronto.edu)

整数 $r$ 和 $s$ 分别表示逆变指标和协变指标的个数。它们的和是张量的阶，有时也称为秩；这里的“秩”与矩阵的秩含义不同。将所有点上的这些张量空间汇集起来，就得到一个张量丛。张量场是这个丛的一个截面，即从每个点上方的纤维中选取一个元素。这种表述很重要，因为不同点处的张量属于不同的向量空间，而不一定属于同一个固定的空间。(math.toronto.edu)

分量与坐标变换

在局部坐标 $x^1,\ldots,x^n$ 中，坐标切向量 $\partial_i=\partial/\partial x^i$ 及其对偶余向量 $dx^i$ 分别构成相应空间的基（线性代数）。张量场可写为

T= T^{i_1\cdots i_r}{}_{j_1\cdots j_s}(x)\, \partial_{i_1}\otimes\cdots\otimes\partial_{i_r} \otimes dx^{j_1}\otimes\cdots\otimes dx^{j_s}.

重复指标按照爱因斯坦求和约定求和。光滑性意味着这些分量函数都是光滑的。一个不受额外约束的张量在每个点处有 $n^{r+s}$ 个分量，但对称性条件可以减少独立分量的个数。(damtp.cam.ac.uk)

在从 $x$ 到 $x'$ 的坐标变换下，每个上指标都带有一个变换因子 $\partial x'^a/\partial x^i$ ，每个下指标则带有一个逆变换因子 $\partial x^j/\partial x'^b$ 。这些因子是雅可比矩阵及其逆矩阵的元素。对于 $(1,1)$ 型张量场，

T'^a{}_b= \frac{\partial x'^a}{\partial x^i} \frac{\partial x^j}{\partial x'^b} T^i{}_j.

这种变换补偿了基的变化，使张量本身保持不变。因此，在相互重叠的坐标图中，任意给定的一组分量函数只有满足相应的变换规律，才能定义一个张量场。(damtp.cam.ac.uk)

基本例子

$(0,0)$ 型张量场就是标量场，可由 $M$ 上的一个函数表示。向量场的类型为 $(1,0)$ ，而余向量场，也称一形式，的类型为 $(0,1)$ 。对于光滑标量函数 $f$ ，其微分

df=(\partial_i f)\,dx^i

是一个余向量场。要把这个微分转化为梯度向量，需要借助度量来建立余向量与向量之间的对应。(damtp.cam.ac.uk)

度量张量是一个对称、非退化的 $(0,2)$ 型张量场。黎曼度量是正定的，而相对论时空的度量具有洛伦兹号差。度量定义长度及其他几何测量，并允许升降指标。例如， $V_i=g_{ij}V^j$ 。度量分量依赖坐标这一点本身并不意味着存在曲率：平直的欧氏空间在球坐标下也具有随位置变化的度量分量。(preposterousuniverse.com)

$k$ 次微分形式是一个完全反对称的 $k$ 阶协变张量场。微分形式支持不依赖坐标的微分和积分，因此在几何和场论中尤为有用。(preposterousuniverse.com)

代数运算与微分

张量运算可以逐点推广到张量场。相同类型的场可以相加，也可以乘以光滑标量函数。张量积将类型组合起来： $(r,s)$ 型场与 $(u,v)$ 型场的张量积是 $(r+u,s+v)$ 型场。张量缩并将一个上指标与一个下指标配对，使两类指标的个数各减少一个。因此，当 $T$ 为 $(1,1)$ 型时， $T^i{}_i$ 是一个标量场。(damtp.cam.ac.uk)

张量分量的普通偏导数在非线性坐标变换下一般不构成张量。协变导数利用联络系数对此加以修正。对于向量场，

\nabla_i V^j=\partial_i V^j+\Gamma^j{}_{ik}V^k.

所得的 $\nabla V$ 为 $(1,1)$ 型；更一般地，协变微分将 $(r,s)$ 型场变为 $(r,s+1)$ 型场。系数 $\Gamma^j{}_{ik}$ 本身并不是张量分量。度量确定了唯一一个无挠且与度量相容的莱维-奇维塔联络。其曲率由黎曼曲率张量表示。(preposterousuniverse.com)

微分形式还有另一种自然的运算，即外微分，它既不需要度量，也不需要联络。外微分将 $k$ 次形式映射为 $(k+1)$ 次形式，并满足 $d^2=0$ 。(preposterousuniverse.com)

物理应用

在电磁学中，电磁场强是一个反对称张量场，将电场和磁场的分量统一起来。这使得麦克斯韦方程组能够以协变形式表达，并明确体现其变换规律。(preposterousuniverse.com)

在广义相对论中，时空度量是一个动力学张量场。爱因斯坦场方程将由度量构造的几何张量与描述能量、动量和应力的应力—能量张量联系起来。这些关系写成张量方程后，在坐标变换下仍保持其含义，而不依赖于某一种特定的坐标表示。(damtp.cam.ac.uk)

参考来源

Geometry and Topology Imath.toronto.edu
Tensor Bundles on Manifoldsmath.utoronto.ca
Lecture Notes on General Relativity: Manifoldspreposterousuniverse.com
Lecture Notes on General Relativity: Special Relativity and Flat Spacetimepreposterousuniverse.com
Lecture Notes on General Relativity: Curvaturepreposterousuniverse.com