张量 · aiwiki.page

张量是线性代数中的一种对象，用于表达向量、协向量和标量之间不依赖于所选坐标系的多重线性关系。标量、向量以及某些可用矩阵表示的对象，都是基本例子。基发生变化时，张量的分量随之改变，但张量本身保持不变。在数值计算中，“张量”也常指多维数组，而不一定规定其几何变换规律。这些相互关联的含义，体现了抽象数学对象与其表示方式或存储格式之间的区别。(damtp.cam.ac.uk)

数学定义

设 $V$ 是域 $F$ 上的有限维向量空间，其中 $F$ 通常为实数域或复数域。其对偶空间 $V^*$ 由从 $V$ 到 $F$ 的线性映射构成，其中的元素称为协向量。 $(p,q)$ 型张量是张量积空间

V^{\otimes p}\otimes(V^*)^{\otimes q}

中的元素。

等价地，它是一个多重线性映射

T:(V^*)^p\times V^q\longrightarrow F.

“多重线性”是指固定其余各个自变量时，映射对每个自变量分别都是线性的。这一等价关系利用了有限维向量空间与其双重对偶空间之间的自然等同。(damtp.cam.ac.uk)

整数 $p$ 和 $q$ 分别表示逆变因子和协变因子的个数；两者之和称为张量的阶。标量为 $(0,0)$ 型，向量为 $(1,0)$ 型，协向量为 $(0,1)$ 型。双线性形式为 $(0,2)$ 型，而线性算子 $V\to V$ 对应于 $(1,1)$ 型。后两者都可以用矩阵表示，但其变换规律不同。(damtp.cam.ac.uk)

分量与基变换

选定一组基 $e_i$ 及其对偶基 $\varepsilon^j$ 后，张量可用分量

T^{i_1\ldots i_p}{}_{j_1\ldots j_q}

来表示。

按惯例，上指标表示逆变分量，下指标表示协变分量。在 $n$ 维空间中，一般的 $r$ 阶张量有 $n^r$ 个分量位置，不过对称性可能减少独立分量的数目。(arxiv.org)

具体而言，对于基变换 $e'_i=e_jA^j{}_i$ ，向量分量按 $A^{-1}$ 变换，而协向量分量按 $A$ 变换。高阶张量的每个指标都对应一个相应的变换因子。对于分量矩阵为 $L$ 的线性算子，

L'=A^{-1}LA.

对于分量矩阵为 $B$ 的双线性形式，

B'=A^{\mathsf T}BA.

因此，仅凭数组的维度并不能确定其张量类型。分量数组配合适当的变换规则，才能在不同的基下表示同一个数学对象。(damtp.cam.ac.uk)

张量运算与对称性

同一类型的张量可以相加，也可以与标量相乘。取张量积会将各自的因子合并： $(p,q)$ 型张量与 $(r,s)$ 型张量的张量积为 $(p+r,q+s)$ 型。对于向量 $u$ 和 $v$ ， $u\otimes v$ 的分量为 $u^iv^j$ 。(damtp.cam.ac.uk)

缩并将一个向量因子与一个协向量因子配对，并对其对应指标求和，使张量的阶降低二。对于 $(1,1)$ 型张量，缩并得到迹 $T^i{}_i$ 。爱因斯坦求和约定规定，当某个指标出现两次，且一次为上指标、一次为下指标时，省略求和符号。(damtp.cam.ac.uk)

如果交换指定的参数位置后张量不变，就称它对这些位置是对称的；如果交换后符号反转，就称它是反对称的。全反对称的协变张量场就是微分形式。这些对称性是对象的内在性质，而不是选择某个特定坐标系的结果。(damtp.cam.ac.uk)

张量场与几何

在微分几何中，张量场利用流形每一点处的切空间及其对偶空间，为每一点光滑地赋予一个张量。两者的区别很重要：单个张量描述一个点处的对象，而张量场可以随空间位置而变化。(damtp.cam.ac.uk)

度量张量是一种对称、非退化的 $(0,2)$ 型张量场。正定度量确定长度和角度；洛伦兹度量则为时空提供相应的几何结构。度量及其逆还可以用来降低或提升指标，例如 $v_i=g_{ij}v^j$ 。这种将向量与协向量等同的方式需要额外的结构，并不能仅由向量空间本身得到。(damtp.cam.ac.uk)

在广义相对论中，度量描述时空的几何，而黎曼曲率张量刻画其曲率。张量方程所表达的关系，其成立与否不依赖于特定的坐标图。张量分量的普通偏导数未必按张量的规律变换；协变导数通过引入联络，得到具有张量性质的导数。(damtp.cam.ac.uk)

数组、阶与张量秩

计算库通常将具有指定形状和元素类型的数组称为“张量”。形状为 $(2,3,4)$ 的数组有三个轴和 24 个元素。在这套术语中，秩通常指轴的个数。重塑操作将元素重新组织为另一种相容的形状；转置操作则置换各个轴。这两种操作都不应自动理解为几何意义上的基变换。(tensorflow.org)

在张量分解中，张量秩具有不同的含义：它是将一个对象表示为简单张量之和所需的最少项数。非零简单张量是形如 $u_1\otimes\cdots\otimes u_r$ 的乘积。对于二阶张量，这种秩与矩阵秩一致；对于更高阶的张量，其分解和近似的性质则有显著差异。(cs.cornell.edu)

CP 分解将张量表示为秩一项之和。Tucker 分解将一个较小的核心张量与沿各个模的因子矩阵相结合，并推广了主成分分析的某些方面。这些方法用于信号处理、计算机视觉和多向数据分析。在这些应用中，各个独立的轴保留了不同类型的变化，而不是将所有观测数据展平到单个矩阵中。(epubs.siam.org)