刚体 · aiwiki.page

刚体是经典力学中的一种理想化模型，其中任意两个物质点之间的距离在运动过程中始终保持不变。因此，刚体的形状和大小不会改变，但其位置和取向可以改变。与质点模型不同，刚体模型保留了物体的空间尺度和质量分布，因此既能描述平移，也能描述转动。实际物体都会发生形变，但当这些形变对所研究的运动影响可以忽略时，刚体近似就很有用。(cs.cmu.edu)

定义与位形

对于位置分别为 $\mathbf r_i(t)$ 和 $\mathbf r_j(t)$ 的物质点，刚性要求任意一对 $i,j$ 都满足

\left|\mathbf r_i(t)-\mathbf r_j(t)\right| =\text{常数}

这一条件约束的是物体内部各点之间的距离，而不是它们到外部观察者的距离。因此，刚体可以移动或翻滚，而不违反刚性条件。(mitp-content-server.mit.edu)

在三维欧几里得空间中，一般刚体的位形具有六个自由度：三个用于确定位置，三个用于确定取向。约束可以减少自由度的数量。固定一个物质点后，刚体还剩三个转动自由度；若限制刚体只能绕一条固定轴转动，则只剩一个自由度。平面刚体运动具有两个平移自由度和一个转动自由度。(mitp-content-server.mit.edu)

物质点的位置可以方便地表示为

\mathbf r(t)=\mathbf R(t)+Q(t)\boldsymbol{\rho},

其中， $\mathbf R$ 表示参考点的位置， $\boldsymbol{\rho}$ 是该点在固连于刚体的坐标系中的恒定坐标向量， $Q$ 是旋转矩阵。条件

Q^{\mathsf T}Q=\mathbf 1,\qquad \det Q=1

使 $Q$ 成为行列式为正的正交矩阵，它保持距离不变，且不引入镜像反射。(ocw.mit.edu)

运动学：平移与转动

刚体运动学描述运动，而不讨论产生运动的原因。刚体上所有点在同一时刻具有相同的角速度向量 $\boldsymbol{\omega}$ ，但线速度通常不同。对于任意两个物质点 $A$ 和 $B$ ，有

\mathbf v_B =\mathbf v_A+ \boldsymbol{\omega}\times(\mathbf r_B-\mathbf r_A).

它们的加速度满足

\mathbf a_B =\mathbf a_A+ \boldsymbol{\alpha}\times(\mathbf r_B-\mathbf r_A) +\boldsymbol{\omega}\times \left[\boldsymbol{\omega}\times(\mathbf r_B-\mathbf r_A)\right],

其中， $\boldsymbol{\alpha}=d\boldsymbol{\omega}/dt$ 。后两项分别描述相对于 $A$ 的切向加速度和向心加速度。(mitp-content-server.mit.edu)

在纯平移中，刚体的取向保持不变，各点的速度相同。在定轴转动中，各点沿以该轴为中心的圆周运动。一般运动是平移与转动的组合；在动力学中，选取质心作为参考点尤其方便。取向可以用旋转矩阵或欧拉角表示。角速度的分量通常并不等于欧拉角对时间的导数。(mitp-content-server.mit.edu)

质量分布与转动惯量

总质量决定平移惯性，而物体对转动的响应则取决于质量如何分布。物体绕某条轴的转动惯量为

I=\int r_\perp^2\,dm,

其中， $r_\perp$ 是到该轴的垂直距离。由于距离以平方形式出现，离轴越远的质量对转动惯量的贡献越大。(ocw.mit.edu)

描述一般的三维转动需要使用惯性张量。以相对于质心的坐标 $\boldsymbol{\rho}$ 表示，其分量为

I_{ij}=\int \left(\rho^2\delta_{ij}-\rho_i\rho_j\right)\,dm,

其中， $\delta_{ij}$ 是克罗内克δ。物体相对于质心的角动量为

\mathbf L_C=\mathbf I_C\boldsymbol{\omega}.

因此，角动量与角速度不一定平行。(ocw.mit.edu)

惯性张量是对称的，可以对角化。其特征值与特征向量分别确定主转动惯量和惯性主轴。在以惯性主轴为坐标轴的坐标系中，

\mathbf I_C=\operatorname{diag}(I_1,I_2,I_3).

这些数值在固连于刚体的坐标系中保持不变，但在固定于空间的坐标系中，张量的分量通常会随着刚体转动而变化。(ocw.mit.edu)

总动能可分为平移和转动两部分：

T=\frac12 M|\mathbf V_C|^2 +\frac12\boldsymbol{\omega}\cdot \mathbf I_C\boldsymbol{\omega}.

这种分解以质心为参考点；若使用任意运动的参考点，通常会出现交叉项。对于垂直间距为 $d$ 的两条平行轴，平行轴定理给出 $I=I_C+Md^2$ ，其中作为基准的轴通过质心。(ocw.mit.edu)

运动方程

刚体动力学同时考虑平移和转动的动力学关系。在惯性参考系中，牛顿运动定律给出

M\mathbf a_C=\sum\mathbf F_{\mathrm{ext}}, \qquad \left(\frac{d\mathbf L_C}{dt}\right)_{\mathrm{inertial}} =\boldsymbol{\tau}_{C,\mathrm{ext}},

其中， $\mathbf F_{\mathrm{ext}}$ 表示外力， $\boldsymbol{\tau}_{C,\mathrm{ext}}$ 表示相对于质心的总外转矩。这两组方程通常统称为牛顿–欧拉方程。(ocw.mit.edu)

在固连于刚体的惯性主轴坐标系中，转动方程成为

\begin{aligned} I_1\dot\omega_1+(I_3-I_2)\omega_2\omega_3&=\tau_1,\\ I_2\dot\omega_2+(I_1-I_3)\omega_3\omega_1&=\tau_2,\\ I_3\dot\omega_3+(I_2-I_1)\omega_1\omega_2&=\tau_3. \end{aligned}

这些欧拉方程包含了绕不同轴转动之间的耦合。它们确定角速度随时间的变化，而取向则由另外的运动学方程确定。(ocw.mit.edu)

对于定轴转动，将方程投影到该轴方向上，可化为 $\tau_\parallel=I_\parallel\alpha$ 。这一标量关系不能普遍取代三维运动方程。刚体处于静力平衡时，合外力与合外转矩都必须为零。(ocw.mit.edu)

典型运动

无外转矩转动。 当外转矩为零时，角动量在惯性参考系中保持不变，但角速度不一定保持不变。当三个主转动惯量互不相同时，绕最大和最小转动惯量所对应主轴的稳定转动，对小扰动是稳定的；绕中间主轴的转动则是不稳定的。这就是中间轴定理，也称网球拍定理。(ocw.mit.edu)

滚动。 轮子在静止表面上无滑动地滚动时，其运动是平移与转动的组合。对于半径为 $a$ 的轮子沿直线滚动的情形，轮心速率满足 $V_C=a|\omega|$ ，且瞬时接触表面的物质点速度为零。这并不意味着该点的加速度为零。摩擦可以提供维持无滑动条件所需的力和转矩。(ocw.mit.edu)

陀螺运动。 自转的物体受到转矩作用时，可以出现进动和章动：进动是转轴方向的变化，章动是转轴倾角的振荡。这些运动应通过角动量的变化来描述，而不能假定转轴会直接朝所施加力的方向移动。(ocw.mit.edu)

发展与应用

刚体力学由牛顿力学和18世纪对转动的研究发展而来。莱昂哈德·欧拉确立了有关转动运动的核心成果，其中包括以他命名的方程。刚体力学也成为分析力学的一个重要应用领域；在分析力学中，取向和约束通过广义坐标处理。(damtp.cam.ac.uk)

刚体模型广泛用于机械动力学、机器人学和计算机动画。组合体可以建模为通过关节连接的多个刚体；接触约束则防止物体相互穿透。数值模拟在计算相互作用所需的力或冲量的同时，推进位置、取向、线动量和角动量随时间的演化。(cs.cmu.edu)

仅凭刚性条件无法确定碰撞行为。碰撞模型还必须给出有关恢复系数、摩擦或其他接触性质的额外假设。因此，刚体模拟无需显式计算接触过程中的形变，就能表示弹性或非弹性碰撞。(cs.cmu.edu)

理想化模型的局限

刚体模型不考虑形状变化、内部振动、弯曲和压缩。因此，它是否适用取决于哪些效应对问题重要：刚体模型可以描述整体运动，但会忽略可能对应力或接触行为至关重要的形变。当必须具体描述这些被忽略的效应时，就需要采用柔性体模型。(cs.cmu.edu)

经典力学中的刚性概念也不能原封不动地用于狭义相对论。同时测得的距离依赖于参考系，而机械扰动的瞬时传播会与有限的光速相矛盾。玻恩刚性等相对论概念所保持的，是在瞬时静止参考系中测得的局部距离。它们对允许的运动施加限制，并不意味着材料具有无限大的刚度。(arxiv.org)

参考来源

Structure and Interpretation of Classical Mechanics: Chapter 2mitp-content-server.mit.edu
09(F14) Chapter 2: Rigid Body Dynamicsocw.mit.edu
09(F14) Advanced Classical Mechanicsocw.mit.edu
Rigid Body Kinematics Instructor Guideocw.mit.edu
Lecture L28 – 3D Rigid Body Dynamics: Equations of Motion; Euler’s Equationsocw.mit.edu
Week 12: Rotations and Translation - Rollingocw.mit.edu
Physically Based Modeling: Principles and Practicecs.cmu.edu
Dynamic simulation of non-penetrating flexible bodiespublications.ri.cmu.edu
Rigid body motion in special relativityarxiv.org