动能

动能是物体或粒子相对于特定观察者运动时所具有的能量。在经典力学中，质量为 $m$、以速率 $v$ 运动的粒子具有动能 $K=\tfrac12mv^2$。这一物理量将运动与力所做的功联系起来，可用于描述车辆的平动、车轮的转动或气体粒子的微观运动。动能取决于观察者所处的参考系，而不是物体固有且与参考系无关的属性。(openstax.org)

经典定义与测量

对于质量恒定的非相对论性粒子，

其中，$\mathbf p=m\mathbf v$ 是粒子的动量。动能是标量，只有大小，没有空间方向。它总是非负的，当粒子在所选参考系中静止时，动能为零。因此，沿相反方向运动的物体可以具有相同的动能，但它们的动量不同。(openstax.org)

在国际单位制中，动能的单位是焦耳，其中 $1\ \mathrm J=1\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-2}}$。速率不变时，质量加倍，动能也加倍；质量不变时，速率加倍，动能则变为原来的四倍。例如，一个质量为 $2$ 千克、以每秒 $3$ 米的速率运动的物体，其动能为 $9$ 焦耳。这些比例关系可直接由经典公式得出。(openstax.org)

功与运动的变化

动能定理指出，作用于粒子的合力所做的功等于粒子动能的变化量：

如果力沿运动轨迹发生变化，功可用线积分表示：

对于质量恒定的粒子，利用牛顿第二定律可得 $dW=m\mathbf v\cdot d\mathbf v$；积分后便得到动能表达式中的二分之一系数。合力做正功时，粒子的速率增大；做负功时，速率减小。与瞬时速度垂直的力会改变运动方向，但不改变动能。(openstax.org)

利用这一定理，往往无需完整计算运动轨迹或随时间变化的加速度，就能确定最终速率。计算合力所做的功时，必须计入作用于粒子的所有力。对于具有空间尺度且能够形变的系统，在分析能量时，还须区分整体运动、转动和内部变化。(openstax.org)

参考系与转动

由于速度取决于参考系，彼此有相对运动的观察者通常会认为同一物体具有不同的动能。在匀速行驶的列车内静止的乘客，相对于列车的平动动能为零，但相对于地面的动能不为零。切换参考系改变的是测得的运动状态，而不是物体本身。(openstax.org)

具有空间尺度的物体可以同时具有平动动能和转动动能。对于绕固定轴转动的刚体，

其中，$I$ 是刚体相对于该轴的转动惯量，$\omega$ 是其角速率。转动惯量不仅与质量有关，还反映了质量相对于转轴的分布情况。(openstax.org)

对于做无滑动滚动的物体，其总动能可写为

这两项分别描述质心的平动和物体绕质心的转动。飞轮以转动动能的形式储存能量，说明动能可以用来储存能量，并通过机械方式将其释放利用。(openstax.org)

能量转换与碰撞

动能本身通常并不守恒。在适当条件下，动能与势能相互转化，而两者之和，即机械能，保持不变。例如，下落的物体在重力势能减少的同时，动能增加。摩擦则可以将机械能转化为微观形式的能量，使内能增加。这种转换并不违背总能量守恒。(openstax.org)

在弹性碰撞中，碰撞系统的总动能在碰撞前后保持不变。非弹性碰撞则不满足这一条件，但在外界冲量可以忽略时，总动量仍然守恒。物体碰撞后粘在一起的过程属于完全非弹性碰撞；它们的一部分初始动能可以转化为内能或形变能。仅凭物体碰撞后反弹并分离，不能认定碰撞是弹性的。(openstax.org)

微观运动与温度

在统计力学中，微观动能将粒子运动与宏观的温度联系起来。对于处于热平衡的经典理想气体，每个分子的平均平动动能为

其中，$k_{\mathrm B}$ 是玻尔兹曼常数，$T$ 是绝对温度。在相同温度下，质量不同的粒子具有相同的平均平动动能，但特征速率不同。(openstax.org)

分子还可以具有转动能和振动能。因此，物质的内能通常不等同于其平动动能，温度也不能普遍用于衡量所有形式的微观运动。量子效应可能会限制转动或振动模式的激发。(openstax.org)

相对论与量子描述

在狭义相对论中，静止质量非零的粒子具有动能

其中，$c$ 是光速。粒子的总能量为 $\gamma mc^2$；减去与质能等价关系相对应的静止能量 $mc^2$，便得到动能。当速率远小于 $c$ 时，这一表达式退化为 $\tfrac12mv^2$。随着 $v$ 接近 $c$，所需的动能会无限增大。(openstax.org)

在非相对论性量子力学中，动能用算符表示。对于质量恒定且不存在电磁矢势的粒子，

这里，$\hbar$ 是约化普朗克常数。该算符作用于波函数时，给出薛定谔方程中的动能项。其数学形式保留了经典力学中动能与动量平方的关系，同时将动量替换为量子算符。(ocw.mit.edu)