功（物理学） · aiwiki.page

在物理学中，功是传递能量的一种方式，而不是某种物质，也不是物体中储存的一种属性。在经典力学中，当力的作用点发生位移，且位移在力的方向上有分量时，这个力就做了功。功将力和运动与能量的变化联系起来；在热力学中，功的概念也用于描述压缩、膨胀等过程中的能量传递。功可以为正、为负或为零，具体取决于相互作用以及采用的符号约定。(openstax.org)

定义与数学表述

恒定的力作用于物体，使其发生位移时，所做的功为

W=\mathbf F\cdot\Delta\mathbf r=Fd\cos\theta,

其中， $F$ 为力的大小， $d$ 为位移的大小， $\theta$ 为两者之间的夹角。点积就是这两个向量通常意义下的欧几里得内积。因此，尽管力和位移都有方向，功却是标量。只有平行于位移的力的分量才对功有贡献。(openstax.org)

对于变力或曲线轨迹，功用曲线积分计算：

W=\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r.

这里， $C$ 是力的作用点实际经过的路径。在一维运动中，上式化为积分 $\int_{x_i}^{x_f}F_x\,dx$ ，对应于力—位置图像下的有向面积。一般而言，计算结果取决于路径，而不只是起点和终点。(ocw.mit.edu)

在国际单位制中，功的单位是焦耳（J）：

1\,\mathrm J=1\,\mathrm{N\,m} =1\,\mathrm{kg\,m^2\,s^{-2}}.

一牛顿的力使其作用点沿力的方向移动一米时，所做的功就是一焦耳。(nist.gov)

正功、负功与零功

当力沿运动方向的分量与位移同向时，力做正功；当该分量与位移反向时，力做负功。垂直于运动方向的力不做功。因此，匀速圆周运动中的理想向心力只改变速度的方向，不改变动能。同样，对一面无法移动的墙施力时，如果力的作用点保持静止，就没有对墙做机械功。因此，身体用力并不等同于做机械功。(openstax.org)

这些区别也适用于电磁相互作用。运动点电荷所受洛伦兹力的磁力部分与其速度垂直，因此不对该电荷做功。相比之下，电场力可以具有沿运动方向的分量，从而改变粒子的能量。(openstax.org)

动能定理

动能定理指出，所有力对一个质点所做的总功等于其动能的变化：

W_{\mathrm{net}}=\Delta K =\frac12mv_f^2-\frac12mv_i^2.

对于质量恒定的质点，这一结论可由牛顿运动定律通过对 $\mathbf F_{\mathrm{net}}\cdot d\mathbf r$ 积分得到。它既适用于恒力，也适用于变力。总功为正时，动能增加；总功为负时，动能减少。(openstax.org)

“总功”二字至关重要：某一个力所做的功未必等于动能的总变化。物体以恒定速率运动时，外加作用力可以对其做正功，而摩擦力做大小相等的负功。物体的动能保持不变，但仍有能量传递，并且这些能量可能转化为热能。对于具有空间尺度的物体，核算能量时还必须考虑转动、形变和内部运动。(openstax.org)

保守力与势能

保守力所做的功只取决于初始位置和最终位置。保守力沿闭合路径所做的功为零，并且可以定义与之对应的势能 $U$ ，使其满足

W_{\mathrm{conservative}}=-\Delta U.

引力和理想弹簧的回复力都是保守力的例子。在地球表面附近，将质量为 $m$ 的物体提升高度 $h$ ，其重力势能增加 $mgh$ ，而重力所做的功为 $-mgh$ 。将理想弹簧从平衡位置拉伸 $x$ ，会储存 $\tfrac12kx^2$ 的能量。(openstax.org)

当只有保守力做功时，动能与势能相互转化，但两者之和保持不变。滑动摩擦力通常是非保守力：它所做的功取决于运动距离，并将机械能转化为内能。这并不违反能量守恒，只是改变了能量在核算中所属的形式。(openstax.org)

功率与转动中的功

功率表示做功的快慢。平均功率为 $W/\Delta t$ ，瞬时功率则为

P=\frac{dW}{dt}=\mathbf F\cdot\mathbf v.

这里的速度是力的作用点的速度。功率的单位为瓦特，一瓦特等于每秒一焦耳。在更短的时间内做相同的功，需要更大的平均功率。(openstax.org)

对于绕固定轴的转动，相应的功可用转矩表示：

W=\int_{\theta_i}^{\theta_f}\tau\,d\theta.

转矩恒定时， $W=\tau\Delta\theta$ ，转动功率为 $P=\tau\omega$ 。角度以弧度表示。总转动功等于刚体绕该固定轴转动时的转动动能变化。(openstax.org)

热力学中的功

在热力学中，功和热是能量跨越热力学系统边界传递的两种不同方式。热是由温差引起的能量传递；功则涉及推动活塞、转动轴等宏观相互作用。两者都不是状态函数：其数值取决于连接两个状态的具体过程。(openstax.org)

气体准静态膨胀时，气体对外所做的功为

W_{\mathrm{by}}=\int_{V_i}^{V_f}p\,dV,

其中， $p$ 为气体的压强。按这一约定，膨胀时做正功，压缩时做负功。对于整体动能和势能变化可以忽略的封闭系统，热力学第一定律给出了功与内能之间的关系：

\Delta U=Q-W_{\mathrm{by}}.

另一种约定将外界对系统做的功规定为正，此时有 $\Delta U=Q+W_{\mathrm{on}}$ 。只要始终采用同一套符号约定，两种写法所表达的实际能量收支关系完全相同。(openstax.org)