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科学 / coulombs-law

库仑定律

库仑定律描述点电荷之间的静电力：其大小与两电荷量的乘积成正比，与两者距离的平方成反比。

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库仑定律是静电学的一条基本定律，描述静止电荷之间的力。在真空中，两个点电荷之间的作用力沿两者的连线方向，其大小与两电荷量绝对值的乘积成正比，与两者距离的平方成反比。同号电荷相斥，异号电荷相吸。库仑定律与叠加原理共同构成了经典电磁学的基础。(openstax.org)

历史发展

这一定律以夏尔-奥古斯丁·德·库仑的名字命名，他于1785年发表了电力测量结果。他使用的装置是扭秤：一套由细丝悬挂的轻质水平组件。电荷间的斥力使组件上的带电小球发生位移，从而扭转细丝，直至细丝的回复转矩与电力产生的转矩平衡。通过测量扭转角度，就能推算出非常微小的力。(aps.org)

库仑比较了不同距离下的作用力，并研究了力如何随电荷量变化。这些实验帮助建立了电相互作用的定量平方反比关系，用数学关系取代了对吸引和排斥现象的纯定性观察。(aps.org)

数学表述与单位

对于相距 r>0r>0 的两个点电荷 q1q_1 和 q2q_2，作用力的大小为

F=ke∣q1q2∣r2,ke=14πε0.F=k_e\frac{|q_1q_2|}{r^2}, \qquad k_e=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}.

其中，ε0\varepsilon_0 为真空电容率。在国际单位制中，电荷量以库仑为单位，距离以米为单位，力以牛顿为单位。这些常数的数值近似为

ε0=8.854×10−12 F m−1,ke=8.988×109 N m2 C−2.\varepsilon_0=8.854\times10^{-12}\ \mathrm{F\,m^{-1}}, \qquad k_e=8.988\times10^9\ \mathrm{N\,m^2\,C^{-2}}.

距离增大到原来的两倍时，力减小到原来的四分之一；任一电荷的电荷量增大到原来的两倍时，力也增大到原来的两倍。(openstax.org)

矢量表达式可以同时给出力的大小和方向。若 r1\mathbf r_1 和 r2\mathbf r_2 分别为两个电荷的位置矢量，则电荷1对电荷2的作用力为

F2←1=q1q24πε0r2−r1∣r2−r1∣3.\mathbf F_{2\leftarrow1} = \frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\mathbf r_2-\mathbf r_1} {|\mathbf r_2-\mathbf r_1|^3}.

带符号的乘积 q1q2q_1q_2 决定作用力是吸引力还是排斥力。电荷1所受的力与此大小相等、方向相反，符合牛顿第三定律。(openstax.org)

叠加原理与电场

对于多个静止电荷，叠加原理指出，总作用力等于各个电荷两两之间作用力的矢量和。力的相加必须考虑方向，并按分量求和，而不能简单地将其大小相加。(openstax.org)

位于原点的点电荷 qq 所产生的电场为

E(r)=q4πε0rr3,F=QE,\mathbf E(\mathbf r) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\mathbf r}{r^3}, \qquad \mathbf F=Q\mathbf E,

其中，QQ 为试探电荷。正电荷产生向外的电场，负电荷产生向内的电场。这种表述将场源产生的电场与承受作用力的电荷区分开来。(feynmanlectures.caltech.edu)

对于连续电荷分布，求和转化为积分：

E(r)=14πε0∫ρ(r′)r−r′∣r−r′∣3 d3r′.\mathbf E(\mathbf r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \rho(\mathbf r') \frac{\mathbf r-\mathbf r'} {|\mathbf r-\mathbf r'|^3}\,d^3r'.

其中，ρ\rho 为单位体积内的电荷量，r′\mathbf r' 表示场源的位置。对于具有一定空间尺度的物体，通常需要根据其电荷分布进行这种处理，而不能将其全部电荷替换为位于中心的一个点电荷。(feynmanlectures.caltech.edu)

电势、能量与高斯定律

静电相互作用力是保守力，因此，当起点和终点固定时，它所做的功与路径无关。若选取无穷远处的电势为零，孤立点电荷的电势为

V(r)=q4πε0r.V(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r}.

因此，两个点电荷的势能为

U(r)=q1q24πε0r.U(r)=\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0r}.

与力的大小的表达式不同，这一表达式保留了电荷量乘积的符号：在上述参考零点的约定下，异号电荷的相互作用能为负。电场可由电势的负梯度求得，即 E=−∇V\mathbf E=-\nabla V。(feynmanlectures.caltech.edu)

库仑定律与叠加原理可以推出高斯定律：穿过闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的电荷量除以 ε0\varepsilon_0。反过来，利用球对称性和高斯定律，也可以得到遵循平方反比关系的点电荷电场。球对称电荷分布在其分布范围之外产生的电场，与将全部电荷集中在其中心时产生的电场相同。这些关系是麦克斯韦方程组在静电极限下的一部分内容。(feynmanlectures.caltech.edu)

材料与适用范围

在理想的无限大、均匀、各向同性的线性电介质中，嵌入其中的自由点电荷之间的宏观相互作用，可以通过将 ε0\varepsilon_0 替换为材料的电容率 ε=εrε0\varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0 来描述。这样就计入了材料的电极化效应。涉及边界、非均匀材料及微观局部电场时，需要更细致的处理；将所有真空中的作用力都除以同一个介电常数，并非普遍适用的做法。(feynmanlectures.caltech.edu)

这一简单定律针对的是静止场源。对于运动电荷，通常需要同时考虑电场和磁场、洛伦兹力，以及随时间变化的麦克斯韦方程组。电磁作用的变化以光速传播，而不是在相隔一定距离的电荷之间瞬时传递。(feynmanlectures.caltech.edu)

在原子尺度上，库仑相互作用仍然至关重要，但经典轨迹无法充分描述束缚电子。在量子力学中，电子与质子之间的吸引势被纳入描述氢的薛定谔方程，由此得到的是量子态和离散能量，而不是经典的行星式轨道。(feynmanlectures.caltech.edu)