拉格朗日函数是通过变分原理表述物理系统动力学的数学函数。在经典力学中，它通常依赖于坐标、速度和时间；对它作时间积分便得到作用量，使作用量驻定的路径决定运动方程。在场论中，对应的局部量是拉格朗日密度。这一名称是为了纪念约瑟夫-路易·拉格朗日，他的《分析力学》于1788年出版。在数学优化中，“拉格朗日函数”也指将目标函数与加权约束结合起来的函数。(mitp-content-server.mit.edu)
力学定义
对于由 (n) 个广义坐标 (q_1,\ldots,q_n) 描述的系统，通常的力学拉格朗日函数具有如下形式：
[ L=L(q_1,\ldots,q_n,\dot q_1,\ldots,\dot q_n,t), ]
其中 (\dot q_i=dq_i/dt)。广义坐标不必是笛卡尔位置坐标：角度、距离或其他独立变量都可以用来描述系统的构型。广义坐标可以将几何约束纳入其中，使系统的描述只涉及其独立的自由度。(mitp-content-server.mit.edu)
对于许多受保守力作用的非相对论系统，标准选择是
[ L=T-V, ]
其中 (T) 是动能，(V) 是势能。这个表达式十分重要，但并不是普适定义。依赖速度的相互作用、相对论动力学以及其他理论都需要更一般的形式。力学中的拉格朗日函数通常具有能量的量纲，但其数值一般并不等于总能量。(underactuated-r1.csail.mit.edu)
例如，一个质量为 (m) 的粒子在势能 (V(x)) 中作一维运动时，其拉格朗日函数为
[ L(x,\dot x)=\frac12m\dot x^2-V(x). ]
它的运动方程为 (m\ddot x=-dV/dx)。因此，熟悉的力学定律可以从一个标量函数推导出来，而不必直接写成矢量方程。(damtp.cam.ac.uk)
驻定作用量与运动方程
与一条候选轨迹对应的作用量为
[ S[q]=\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot q,t),dt. ]
(L) 描述系统在某一瞬间的状态，而 (S) 则依赖于整条路径。驻定作用量原理指出，在保持端点构型不变的无穷小路径变分下，物理轨迹满足 (\delta S=0)。“驻定”意味着一阶变分为零；作用量不一定取得极小值。(mitp-content-server.mit.edu)
[ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\right) -\frac{\partial L}{\partial q_i}=0, \qquad i=1,\ldots,n. ]
求偏导数时，将坐标和速度视为彼此独立的自变量。对于依赖一阶导数的正则拉格朗日函数，这些方程通常是二阶微分方程。还可以在方程右端加入额外的非保守广义力。(damtp.cam.ac.uk)
拉格朗日函数并不唯一。将它替换为
[ L'=L+\frac{dF(q,t)}{dt} ]
只会使作用量改变 (F(q(t_2),t_2)-F(q(t_1),t_1))。当端点固定时，这一项不影响变分，因此 (L') 给出相同的运动方程。(mitp-content-server.mit.edu)
动量、能量与对称性
与 (q_i) 共轭的动量定义为
[ p_i=\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}. ]
它不一定等于质量乘以速度。如果 (L) 不依赖于某个坐标 (q_i)，欧拉—拉格朗日方程便给出 (\dot p_i=0)；这样的坐标称为循环坐标或可忽略坐标。(damtp.cam.ac.uk)
当动量与速度之间的关系可逆时，通过勒让德变换可得到经典哈密顿函数：
[ H(q,p,t)=\sum_i p_i\dot q_i-L. ]
此时，速度用 (q,p,t) 表示。哈密顿力学以坐标和动量为变量，描述系统在相空间中的演化。如果动量与速度之间的关系是奇异的，就需要采用约束处理方法，而不能直接进行这种求逆。(damtp.cam.ac.uk)
沿运动方程的解，有
[ \frac{dH}{dt}=-\frac{\partial L}{\partial t}, ]
因此，当拉格朗日函数不显含时间时，哈密顿函数守恒。对于势能不随时间变化、动能是速度的二次型的通常系统，有 (H=T+V)。更一般地，诺特定理将作用量的连续对称性与守恒定律联系起来：时间平移对应能量守恒，空间平移对应动量守恒，旋转对应角动量守恒。(damtp.cam.ac.uk)
场与量子理论
对于场 (\phi_a(\mathbf x,t))，拉格朗日密度 (\mathcal L) 在局部规定其动力学：
[ L(t)=\int d^3x,\mathcal L, \qquad S=\int dt,d^3x,\mathcal L. ]
如果该密度依赖于场及其一阶导数，变分可得
[ \partial_\mu\left( \frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi_a)} \right) -\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi_a}=0. ]
这里，(\mu) 标记时空坐标，重复出现的指标表示求和。物理学家常将 (\mathcal L) 本身称为“拉格朗日量”，尽管它是一个密度，而不是对空间积分后的量。(damtp.cam.ac.uk)
拉格朗日密度在量子场论中起着核心作用。它的各项描述场的传播、质量和相互作用，而对称性要求则限制其可能的形式。场论也可以改写为哈密顿形式，以进行正则量子化；另一种与量子理论建立联系的方式是采用路径积分表述。(damtp.cam.ac.uk)
在优化中的用法
对于在约束 (g_i(x)\leq0) 和 (h_j(x)=0) 下最小化目标函数 (f(x)) 的问题，优化中的拉格朗日函数为
[ \mathscr L(x,\lambda,\nu) =f(x)+\sum_i\lambda_i g_i(x)+\sum_j\nu_j h_j(x). ]
这些系数称为拉格朗日乘子；在对偶表述中，(\lambda_i\geq0)，而等式约束的乘子不受符号限制。这个函数不是物理意义上的能量，也不是作用量密度。(web.stanford.edu)
取 (\inf_x\mathscr L) 便定义了对偶函数，它给出约束最小值的下界。对这些下界进行最大化，就得到拉格朗日对偶。对于可微问题，卡鲁什—库恩—塔克条件将驻定性、可行性和互补松弛性结合起来；要使这些条件成为必要条件，需要满足适当的约束资格条件。在凸优化中，这些条件是最优性的充分条件，而适当的可行性假设则能保证强对偶性。(web.stanford.edu)