质心 · aiwiki.page

质心是表示物体或物体系统中各部分位置按质量加权平均所得位置的点。在经典力学中，质心使我们无需逐一追踪组成物体的每个粒子，就能描述有一定空间尺度的物体的整体运动：对于由固定一组质量不变的粒子组成的系统，质心的加速度等于合外力除以总质量。质心不一定落在物体的实体部分内；例如，均匀空心球的质心位于其内部的空腔中。(openstax.org)

数学定义

对于 $N$ 个粒子，若它们的质量为 $m_i$ ，在同一坐标系中测得的位置矢量为 $\mathbf r_i$ ，则质心的位置为

\mathbf R=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{N}m_i\mathbf r_i, \qquad M=\sum_{i=1}^{N}m_i.

各个坐标分量分别计算。例如，

X=\frac{\sum_i m_i x_i}{M}.

等价的表述是

\sum_i m_i(\mathbf r_i-\mathbf R)=\mathbf 0:

即质量分布相对于其质心的一阶矩为零。这些表达式要求总质量有限且不为零，并且一阶矩有明确定义。(openstax.org)

对于两个质量均为正的质点，质心位于连接它们的线段上，且更靠近质量较大的质点。若它们到质心的距离分别为 $d_1$ 和 $d_2$ ，则

m_1d_1=m_2d_2.

举例来说，两个质量分别为 $2\,\mathrm{kg}$ 和 $6\,\mathrm{kg}$ 的质点，若分别位于 $x=0$ 和 $x=4\,\mathrm m$ ，其质心就位于 $X=3\,\mathrm m$ 。这一结果可直接由按质量加权的坐标公式求得。(openstax.org)

对于连续的质量分布，求和改为积分：

\mathbf R=\frac{1}{M}\int\mathbf r\,dm.

若体密度为 $\rho(\mathbf r)$ ，则

M=\int_V\rho(\mathbf r)\,dV, \qquad \mathbf R= \frac{\int_V\mathbf r\,\rho(\mathbf r)\,dV} {\int_V\rho(\mathbf r)\,dV}.

薄片和细线的处理方式类似，分别使用单位面积或单位长度的质量。对于组合物体，可以把每个组成部分的质量视为集中在该部分自身的质心处，再进行分析。(openstax.org)

几何、对称性与形心

形心是位置的几何平均点，与实际的质量分布无关。对于密度均匀的物体，按相应几何测度确定的形心与质心重合。对于密度不均匀的物体，两者通常不同：在物体一侧加入高密度材料，会使质心向该侧偏移，而不改变物体的外形。(openstax.org)

只有当对称性体现在质量分布上，而不只是体现在轮廓上时，它才能简化计算。均匀矩形薄板的质心位于两条对角线的交点。均匀圆环的质心位于圆心，尽管那里并没有圆环的材料。这些例子说明，“中心”并不一定是物体实体内部的一个点。(openstax.org)

运动与外力

当各组成粒子的质量不变时，对质心位置求导可得质心的速度：

\mathbf V=\frac{d\mathbf R}{dt} =\frac{1}{M}\sum_i m_i\mathbf v_i.

因此，总动量为

\mathbf P=\sum_i m_i\mathbf v_i=M\mathbf V.

对各粒子应用牛顿运动定律，再将它们的运动方程相加，当内力在总的力平衡中相互抵消时，可得

M\frac{d^2\mathbf R}{dt^2} =\mathbf F_{\mathrm{ext}}.

外力是所选系统之外的物体或作用源施加的各个力之和。(openstax.org)

内部相互作用可以重新分配各粒子的运动，却不改变总动量。因此，孤立系统的质心做匀速直线运动。即使发生碰撞或爆炸，这一点仍然成立，尽管各粒子的速度可能发生很大变化。例如，在近似均匀的引力场中，若忽略空气阻力，爆炸后抛射体所有碎片的质心仍沿着由引力决定的轨迹运动。(openstax.org)

质点式描述针对的是整体平动，不能替代对转动或形变的描述。物体所受的合外力可以为零，同时外转矩仍使其转动状态发生变化。静力平衡要求力平衡和转矩平衡同时成立。(openstax.org)

质心参考系与动能

随质心一起运动的参考系称为质心参考系。在牛顿力学中，系统在这一参考系中的总动量为零。当质心相对于另一个惯性系做匀速直线运动时，质心参考系是惯性参考系；随加速运动的质心一起运动的参考系则不是惯性系。(ocw.mit.edu)

将每个粒子的速度写为

\mathbf v_i=\mathbf V+\mathbf u_i,

其中 $\mathbf u_i$ 是该粒子相对于质心的速度，便可得到动能的分解式

K=\frac12 M V^2+\frac12\sum_i m_i u_i^2.

第一项是整体平动的动能。第二项是相对于质心的运动所具有的动能，包括转动和其他内部运动的动能。由于 $\sum_i m_i\mathbf u_i=0$ ，交叉项为零。对于给定的瞬时状态，在彼此以恒定相对速度运动的各参考系中，质心参考系中测得的动能最小。(ocw.mit.edu)

对于两个粒子，相对运动项可写为

K_{\mathrm{rel}} =\frac12\mu|\mathbf v_1-\mathbf v_2|^2, \qquad \mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}.

其中 $\mu$ 称为约化质量。这种形式在碰撞计算中尤其有用。两个粒子发生完全非弹性碰撞并黏在一起后，它们最终的相对平动动能为零；而当合外力的冲量可以忽略时，质心速度保持不变。(live.ocw.mit.edu)

绕质心的转动

质心是研究刚体动力学时一个自然的参考点。相对于固定原点的角动量可以分解为与质心运动有关的角动量，以及相对于质心的角动量：

\mathbf L_O =\mathbf R\times\mathbf P+\mathbf L_{\mathrm{CM}},

其中 $\times$ 表示叉积。这一分解将物体在空间中的整体运动与绕自身质心的转动区分开来。(mitp-content-server.mit.edu)

平行轴定理给出了物体绕过质心的轴与绕另一条平行轴的转动惯量之间的关系：

I=I_{\mathrm{CM}}+Md^2,

其中 $d$ 是两轴之间的垂直距离。因此，在方向相同的各条轴中，过质心的轴所对应的转动惯量最小。利用这一定理，可以根据各组成部分的性质计算组合物体的转动性质。(openstax.org)

重心与平衡

**重心**涉及重力的合力及其转矩，而质心仅由质量分布定义。在均匀重力场中，两者重合：物体的总重量可以视为作用于质心。在物体范围内变化显著的重力场中，两者不一定重合。(openstax.org)

对于在重力作用下静置于水平支撑面上的物体，其抗倾倒的稳定性取决于重心相对于支撑底面的所在位置。当重心的竖直投影越过支撑边缘时，重力会产生使物体倾覆的转矩。较低的重心或较宽的底面通常能使物体在倾覆前承受更大的倾斜角度。这些结论针对的是特定的支撑方式，并不意味着物体在任意外力作用下都能保持稳定。(openstax.org)

天文学中的质心

在天文学中，天体系统的质量中心通常称为质心（barycenter）。例如，这一术语可用于太阳系以及地球—月球系统。(ssd.jpl.nasa.gov)

在孤立的二体轨道模型中，两个天体都围绕共同的质心运动，而不是一个严格保持静止、另一个绕其运行。这一点在双星系统中尤为明显。质心更靠近质量较大的天体，也可能位于其内部；质心的位置不必与任何一个天体的几何中心重合。(science.nasa.gov)

历史背景

对平衡问题的数学研究，早于质心在现代动力学中的应用。阿基米德在《论平面图形的平衡》中研究了杠杆定律和平面图形的重心。这些问题关注的是分布在不同位置的重量在什么条件下能够平衡。牛顿力学赋予了这个按质量加权得到的点进一步的作用：它决定系统在外力作用下的整体平动。(perseus.tufts.edu)

适用范围与相对论推广

简单的方程 $M\ddot{\mathbf R}=\mathbf F_{\mathrm{ext}}$ 假定系统由固定的一组质量不变的粒子组成。对于开放系统，例如不把喷出的推进剂包含在内的火箭，穿过系统边界的质量也会携带动量。因此，运动方程必须计入这种动量通量；不能直接把变化的质量代入恒定质量的公式。(ocw.mit.edu)

在狭义相对论中，仅按静止质量加权并不能体现动能、相互作用能和场能的贡献。一种相关的构造是能量中心：在选定的同时性时间切片上，对于各项离散的能量贡献，可示意性地写为

\mathbf R_E=\frac{\sum_i E_i\mathbf r_i}{\sum_i E_i}.

完整的处理应包括所有相关能量，其中存在电磁场时，也应计入电磁场能。对于孤立的相对论系统，能量中心的运动与总动量之间满足

\frac{d\mathbf R_E}{dt} =\frac{c^2\mathbf P}{E}.

因此，相对论中的动量中心描述是对牛顿力学中按质量加权构造的推广，而不是简单的重复。(balitsky.com)

参考来源

6 Center of Mass — University Physics Volume 1openstax.org
6 Moments and Centers of Mass — Calculus Volume 2openstax.org
6 Calculating Centers of Mass and Moments of Inertia — Calculus Volume 3openstax.org
223 IAP 2017 Lecture 5: Full Example and Conservation of Energyocw.mit.edu
3D Rigid Body Dynamics: Kinetic Energy, Instability, Equations of Motionocw.mit.edu
MIT8_01F16_DD_CMframe7_360plive.ocw.mit.edu
Structure and Interpretation of Classical Mechanics: Chapter 2mitp-content-server.mit.edu
5 Calculating Moments of Inertia — University Physics Volume 1openstax.org
1 Conditions for Static Equilibrium — University Physics Volume 1openstax.org
Ch. 12 Summary — University Physics Volume 1openstax.org
3 Stability — College Physics for AP Courses 2eopenstax.org
Barycenter — NASA Jet Propulsion Laboratoryssd.jpl.nasa.gov