爱因斯坦求和约定

爱因斯坦求和约定是一种用重复指标代替显式求和符号的记号规则。在标准的张量形式中，同一项内出现两次的指标——一次作为上指标，一次作为下指标——表示在其指定范围内求和。这一约定使涉及张量的表达式更加简洁，同时保留有关其分量和缩并的信息。阿尔伯特·爱因斯坦在其1916年关于广义相对论的论文第5节中明确引入了这一规则。它也用于线性代数和计算中的数组记号。(en.wikisource.org)

基本规则与指标范围

对于取值范围为 $1$ 到 $n$ 的指标 $i$ ，表达式

a_i b^i

表示

\sum_{i=1}^{n}a_i b^i =a_1b^1+a_2b^2+\cdots+a_nb^n.

重复指标指定了需要先相乘、再相加的分量；它不是指数。求和约定分别适用于和式中的每一项，而不是不加区分地作用于整个等式。(en.wikisource.org)

指标的取值范围必须由上下文确定。对于有限维向量空间中的分量，指标可取值的个数通常等于该空间的维数。在四维时空中，指标通常从 $0$ 取到 $3$ 。不同类型的指标可以有不同的取值范围；相互匹配的指标字母必须对应相容的分量空间。(w0.ned.ipac.caltech.edu)

多对重复指标表示多个独立的求和。例如，

T_{ij}u^iv^j =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}T_{ij}u^iv^j.

这里， $i$ 和 $j$ 都不再出现在结果中。相比之下， $u^iv^j$ 中的两个指标各不相同且均未重复，因此不包含隐含求和，而是给出张量积的分量。(en.wikisource.org)

自由指标与哑指标

哑指标又称求和指标，在同一项中出现两次，并在求和后消去。用哪个字母表示它并无本质意义：

A^i{}_j x^j=A^i{}_k x^k.

只要替换后的字母不与该项中的其他指标冲突，这两个表达式就表示相同的分量。(appliedmechanicslab.github.io)

自由指标不参与求和，用于标记结果的分量。在

y^i=A^i{}_j x^j

中， $i$ 是自由指标， $j$ 是哑指标。对于 $i$ 的每一个允许取值，这个等式都表示一个标量等式。所有相加的项，以及张量等式的两边，都必须具有相互匹配的自由指标，且相应指标的上下位置也必须一致。因此， $u^i+v^j$ 并不表示通常意义上按分量进行的向量加法。(appliedmechanicslab.github.io)

在标准约定下，同一指标不能在一项中出现三次或更多次。因此， $a_i b^i c^i$ 这样的表达式需要改写，或者明确采用另一种约定。像 $A^1{}_1$ 这样的特定分量不会自动求和：重复的数字指定的是一个固定分量，而不是遍历取值范围的指标。(appliedmechanicslab.github.io)

上指标与下指标

在微分几何中，指标的位置反映其变换方式。按惯例，上指标表示逆变分量，包括向量的分量；下指标表示协变分量，包括对偶空间中元素的分量。它们的变换规律使相互匹配的一对上、下指标可以用于张量缩并。每缩并一对指标，张量的指标总数就减少两个。(w0.ned.ipac.caltech.edu)

度量张量将上指标分量与下指标分量联系起来：

v_i=g_{ij}v^j, \qquad v^i=g^{ij}v_j,

其中， $g^{ij}$ 是逆度量的分量。对于实向量，度量配对为

g(u,v)=g_{ij}u^iv^j.

当度量正定时，这就是一个内积；时空度量则不一定正定。(w0.ned.ipac.caltech.edu)

在实欧几里得空间的一组标准正交基下，度量分量构成单位矩阵，对应的上指标分量与下指标分量在数值上相同。因此，笛卡尔坐标系中的张量计算常常把所有指标都写在下方，用 $a_i b_i$ 表示点积。这种简化记号不应原样套用于任意坐标系或不定度量。(w0.ned.ipac.caltech.edu)

矩阵与张量运算

表示线性映射的矩阵通过下式作用于向量：

y^i=A^i{}_j x^j.

映射的复合则写为

C^i{}_k=A^i{}_jB^j{}_k.

共同的指标 $j$ 执行矩阵乘法中熟悉的求和，而 $i$ 和 $k$ 标记输出的分量。(nwchemex.github.io)

矩阵的迹是同一对象内部的缩并：

\operatorname{tr}A=A^i{}_i.

克罗内克 delta定义为：当 $i=j$ 时， $\delta^i{}_j=1$ ；否则为 $0$ 。它满足

\delta^i{}_jv^j=v^i.

这些公式说明，指标的排列方式可以区分不同运算，而无须逐一写出运算名称。不过，仅凭简洁的指标记号，并不能断定一个数组按张量的方式变换；变换性质仍是一项独立的要求。(en.wikisource.org)

计算记号与扩展

这一约定也为数值线性代数中的多维数组运算提供了一种表达语言。NumPy 的 einsum 用字符标签标记数组的轴。例如，einsum('ij,jk->ik', A, B) 表示矩阵乘法，而 einsum('i,i->', a, b) 对向量对应元素的乘积求和。箭头显式指定输出标签。(numpy.org)

这类接口扩展了传统的数学约定。einsum('ij->i', A) 对标签仅出现一次的轴求和，而 einsum('i,i->i', a, b) 保留重复标签，并计算逐元素乘积。同样，einsum('ii->i', A) 提取的是对角线元素，而不是计算迹。这些都是有效的软件指令，因为输出标签决定哪些轴会保留下来；如果不说明修改后的规则，就不应将它们理解为通常的爱因斯坦记号。(numpy.org)

参考来源

The Foundation of the Generalised Theory of Relativityen.wikisource.org
Einstein Summation Convention — Applied Mechanics Labappliedmechanicslab.github.io
Einstein Summation Convention — TensorWrapper 1.0.0 documentationnwchemex.github.io
numpy.einsum — NumPy v2.1 Manualnumpy.org