伯恩哈德·黎曼 · aiwiki.page

伯恩哈德·黎曼，全名格奥尔格·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼（1826年9月17日—1866年7月20日），是德国数学家，其研究重塑了数学分析、几何学和数论。他发展了研究复变函数的几何方法，建立了影响深远的积分定义，并奠定了任意维弯曲空间几何学的基础。他对ζ函数的研究将复分析与素数分布联系起来，并提出了如今称为黎曼猜想的猜想。他的学术生涯大部分时间是在哥廷根大学度过的。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

生平与学术生涯

黎曼出生于汉诺威王国的布雷瑟伦茨，如今该地属于德国。他的父亲是一名路德宗牧师。他先后在汉诺威和吕讷堡求学，1846年进入哥廷根大学，最初学习神学。经父亲同意后，他转而学习数学。1847年，他前往柏林，师从彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷和卡尔·古斯塔夫·雅各布·雅可比等人；1849年返回哥廷根。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

1851年，他在卡尔·弗里德里希·高斯指导下完成博士论文，研究主题是复变函数。1854年，他通过大学任教资格考核，获得授课资格；1857年成为编外教授，1859年接替狄利克雷，出任哥廷根大学数学讲席教授。1862年，他与埃莉泽·科赫结婚，两人育有一女。因病，他曾长期旅居意大利，最终在马焦雷湖畔的塞拉斯卡去世，享年三十九岁。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

复变函数与黎曼曲面

黎曼的博士论文《复变函数一般理论的基础》通过分析思想与几何思想的结合来研究复分析。对于写成 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 的函数，复可微性要求它满足柯西—黎曼方程，这些方程将函数实部和虚部的偏导数联系起来。他的方法着重于这些结构性条件以及映射的几何性质，而不是完全依赖公式和级数。(maths.tcd.ie)

其中一项核心构造是黎曼曲面。平方根和对数等表达式在复平面上可能具有多个值。将它们的各个分支组织在适当的曲面上，就可以把它们作为单值函数来处理。由此，底层曲面的连通性成为理解解析函数的关键因素，将函数论与拓扑学联系起来。他于1857年发表的阿贝尔函数论文，将这一研究思路推广到更一般的积分和反演问题。(maths.tcd.ie)

一些存在性论证依赖于狄利克雷原理，这是一种变分方法。卡尔·魏尔斯特拉斯后来指出，不加限制地使用这一原理存在漏洞：一个泛函有下界，本身并不能保证存在使其取得最小值的函数。后来的研究，包括大卫·希尔伯特的工作，为这一原理在适当条件下的应用提供了严格基础。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

积分与三角级数

黎曼的大学任教资格论文研究了函数的傅里叶级数表示，并阐明了哪些函数具有定积分。这篇论文于1854年提交，1867年由理查德·戴德金在黎曼去世后发表。论文既回顾了三角级数的研究历史，也开展了新的研究，其中包括一种适用于某些不连续函数的积分定义。(maths.tcd.ie)

黎曼积分的构造方法是将一个区间划分为若干子区间，选取采样点，并形成黎曼和：

\sum_i f(\xi_i)(x_i-x_{i-1}).

如果当最大子区间长度趋于零时，这些和趋于同一个值，且该值不依赖于区间的划分方式和采样点的选择，那么积分就存在。这样，可积性问题便与更强的连续性假设区分开来。黎曼还考察了从一个函数的三角级数表示中能够推断出哪些性质，这与通常寻找保证函数具有此类表示的条件的问题方向相反。(maths.tcd.ie)

弯曲空间的几何学

1854年6月10日，黎曼发表了大学任教资格演讲《论几何学基础中的假设》。他将 $n$ 维流形与在其上测量长度所需的附加结构区分开来。同一个底层连续体可以采用不同的测量规则；因此，通常的欧几里得几何只是一个特例，而不是唯一可以设想的几何。(aps.org)

用现代记号表示，他所研究的结构可由度量张量表达：

ds^2=\sum_{i,j}g_{ij}(x)\,dx^i\,dx^j.

在正定情形下，它规定了无穷小长度，从而确定曲线的长度。黎曼将内蕴曲率从曲面推广到更高维空间，并研究了测地线，即在局部意义上对应于直线的曲线。这些思想成为微分几何和黎曼几何的基础。(maths.tcd.ie)

这次演讲还区分了数学上的可能性与哪种几何能够描述物理空间这一经验问题。其框架后来为阿尔伯特·爱因斯坦的广义相对论提供了基础；在广义相对论中，引力通过弯曲的时空来描述。这是后来的物理应用，并非黎曼本人提出的理论。(maths.tcd.ie)

ζ函数与素数

1859年11月，黎曼发表了《论小于给定数值的素数个数》。他利用复变量研究黎曼ζ函数：

\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}, \qquad \operatorname{Re}(s)>1,

将该函数延拓到最初的收敛区域之外，并建立了函数方程。他的分析将该函数的零点与计算素数个数的公式联系起来。论文区分了已经证明的论证和仍有待完整论证的断言。(maths.tcd.ie)

黎曼猜想断言，这个函数的每一个非平凡零点的实部都等于 $1/2$ 。它关乎素数个数围绕其平均分布的波动，而不仅仅是平均分布本身。这一猜想至今尚未解决，并被克雷数学研究所列为千禧年大奖难题之一。(claymath.org)

其他研究与著作出版

黎曼还研究过有限振幅空气波、电现象以及流体椭球的运动。他生前及身后发表的论文涵盖了θ函数、最小面积曲面和电动力学等课题。戴德金与海因里希·韦伯协助保存并出版了他的著作；其中若干奠基性文献直到他去世后才得到广泛传播。(maths.tcd.ie)