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数学 / prime-number-theorem

素数定理

素数定理指出，不超过 x 的素数个数与 x 除以 x 的自然对数渐近等价。

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素数定理是数论中的一个基本结果，描述了素数的宏观分布。若 π(x)\pi(x) 表示不超过 xx 的素数个数，则该定理断言，当 xx 趋于无穷大时，π(x)∼x/log⁡x\pi(x)\sim x/\log x，其中 log⁡\log 表示自然对数。因此，尽管素数的出现并不规则，其累积个数却遵循精确的渐近规律。雅克·阿达马和夏尔-让·德·拉·瓦莱·普桑于1896年分别独立证明了这一定理。(dlmf.nist.gov)

定理陈述与解释

素数计数函数定义为

π(x)=#{p≤x:p 为素数}.\pi(x)=\#\{p\leq x:p\text{ 为素数}\}.

素数定理断言

π(x)∼xlog⁡x,\boxed{\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}},

等价地，

lim⁡x→∞π(x)log⁡xx=1.\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)\log x}{x}=1.

这里，符号 ∼\sim 表示两个表达式的比值趋于 11，而不是说它们的差趋于零。(dlmf.nist.gov)

用极限的语言表述，这一定理是说：对任意 ε>0\varepsilon>0，都存在一个阈值 XX，使得

(1−ε)xlog⁡x<π(x)<(1+ε)xlog⁡x(x>X).(1-\varepsilon)\frac{x}{\log x} < \pi(x) < (1+\varepsilon)\frac{x}{\log x} \qquad(x>X).

这是对定理的另一种表述：其基本内容涉及的是相对误差，而非精确的计数结果或某个指定的收敛速度。(terrytao.wordpress.com)

一个直接推论是

π(x)⌊x⌋∼1log⁡x.\frac{\pi(x)}{\lfloor x\rfloor}\sim\frac{1}{\log x}.

因此，从 1,…,⌊x⌋1,\ldots,\lfloor x\rfloor 中等概率选取一个整数，它为素数的概率与 1/log⁡x1/\log x 渐近等价。尽管素数有无穷多个，这个概率仍趋于零。这种概率解释针对的是抽取整数的方式，并不意味着素数本身具有内在的随机性。(dlmf.nist.gov)

等价表述

以 pnp_n 表示第 nn 个素数，其中

p1=2,p2=3,p3=5,….p_1=2,\quad p_2=3,\quad p_3=5,\ldots.

定理的一种等价表述是

pn∼nlog⁡n.p_n\sim n\log n.

因此，该定理既能描述给定上界以内的素数个数，也能描述给定序号的素数的大致大小。(dlmf.nist.gov)

在证明中，对素数赋予对数权重后再进行计数，往往更为方便。切比雪夫函数定义为

ϑ(x)=∑p≤xlog⁡p,ψ(x)=∑pk≤xlog⁡p,\vartheta(x)=\sum_{p\leq x}\log p, \qquad \psi(x)=\sum_{p^k\leq x}\log p,

其中第二个求和包含所有素数幂 pkp^k，且 k≥1k\geq1。素数定理与下列两个陈述中的任意一个等价：

ϑ(x)∼x,ψ(x)∼x.\vartheta(x)\sim x, \qquad \psi(x)\sim x.

指数 k≥2k\geq2 的素数幂所产生的贡献在渐近意义下比 xx 小，因此不会改变主项。(math.ucdavis.edu)

利用冯·曼戈尔特函数

Λ(n)={log⁡p,n=pk, 其中 p 为素数且 k≥1,0,其他情形,\Lambda(n)= \begin{cases} \log p,&n=p^k,\text{ 其中 }p\text{ 为素数且 }k\geq1,\\ 0,&\text{其他情形}, \end{cases}

可写出

ψ(x)=∑n≤xΛ(n).\psi(x)=\sum_{n\leq x}\Lambda(n).

与不加权的函数 π(x)\pi(x) 相比，这种加权表述能更直接地将素数计数与解析恒等式联系起来。(terrytao.wordpress.com)

历史发展

这一猜想源于18世纪末的数值研究。卡尔·弗里德里希·高斯后来回忆说，他在1792年或1793年就已认识到素数的密度大致遵循对数规律。阿德里安-马里·勒让德于1798年发表了一个相关猜想，提出了形如

xAlog⁡x+B\frac{x}{A\log x+B}

的近似公式。这些研究在证明出现之前，就已找到了正确的主项尺度。(publications.ias.edu)

19世纪，帕夫努季·切比雪夫建立了具有正确数量级的上界和下界。这些结果表明，素数个数按 x/log⁡xx/\log x 的尺度增长，却未能证明二者的比值恰好趋于 11。波恩哈德·黎曼在1859年的研究中，将素数与ζ函数的复零点联系起来，引入了具有决定性意义的解析视角。(math.ucdavis.edu)

阿达马和德·拉·瓦莱·普桑于1896年运用复分析完成了最早的证明。1948年，阿特勒·塞尔伯格和保罗·埃尔德什提出了初等证明，并于1949年发表。这里的“初等”是指证明不使用复变函数理论，并不意味着论证简短或容易。(terrytao.wordpress.com)

解析证明与ζ函数

解析证明的核心对象是黎曼ζ函数：

ζ(s)=∑n=1∞1ns,Re⁡(s)>1.\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}, \qquad \operatorname{Re}(s)>1.

由算术基本定理可得其欧拉乘积：

ζ(s)=∏p(1−p−s)−1.\zeta(s)=\prod_p(1-p^{-s})^{-1}.

这一恒等式将素因数分解的信息编码在一个复变函数中。取对数导数，得到

−ζ′(s)ζ(s)=∑n=1∞Λ(n)ns,Re⁡(s)>1.-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\Lambda(n)}{n^s}, \qquad \operatorname{Re}(s)>1.

因此，ζ\zeta 的解析性质决定了涉及 Λ\Lambda 的求和的行为。(terrytao.wordpress.com)

通过解析延拓，ζ函数可以延伸到定义它的级数的收敛区域之外。它在 s=1s=1 处有一个一阶极点。另一个具有决定性意义的事实是，它在直线

Re⁡(s)=1\operatorname{Re}(s)=1

上没有零点。结合适当的解析论证，这一非零性可以推出 ψ(x)∼x\psi(x)\sim x，进而证明素数定理。反过来，素数定理也蕴含这一非零性质。极点给出主项，而零点则控制偏离主项的程度。(terrytao.wordpress.com)

初等证明

塞尔伯格的初等方法以一个称为塞尔伯格对称公式的渐近恒等式为起点：

∑n≤xΛ(n)log⁡n+∑ab≤xΛ(a)Λ(b)=2xlog⁡x+O(x).\sum_{n\leq x}\Lambda(n)\log n + \sum_{ab\leq x}\Lambda(a)\Lambda(b) = 2x\log x+O(x).

第二个求和遍历满足 ab≤xab\leq x 的正整数 a,ba,b。这个公式将素数幂的加权计数与两个此类权重的乘积联系起来。(terrytao.wordpress.com)

借助进一步的估计，可以将这一关系转化为对 ψ(x)\psi(x) 误差的控制，最终证明该误差为 o(x)o(x)。初等证明表明，从逻辑上说，复分析并非证明素数定理所不可或缺的工具；不过，在理解更强的估计及推广结果时，它仍提供了一个尤其有力的框架。(terrytao.wordpress.com)

更精确的近似与误差项

对数积分给出了包含更多信息的近似。采用不含奇点的规范化形式

Li⁡2(x)=∫2xdtlog⁡t,\operatorname{Li}_2(x)=\int_2^x\frac{dt}{\log t},

有

Li⁡2(x)∼xlog⁡x.\operatorname{Li}_2(x)\sim\frac{x}{\log x}.

它与通常以主值定义的函数 li⁡(x)\operatorname{li}(x) 仅相差一个常数，因此这种选择不会影响这里讨论的渐近估计。(terrytao.wordpress.com)

反复进行分部积分，可得渐近展开

Li⁡2(x)=xlog⁡x(1+1log⁡x+2!(log⁡x)2+⋯+m!(log⁡x)m)+O ⁣(x(log⁡x)m+2),\operatorname{Li}_2(x) = \frac{x}{\log x} \left( 1+\frac{1}{\log x} +\frac{2!}{(\log x)^2} +\cdots+ \frac{m!}{(\log x)^m} \right) + O\!\left(\frac{x}{(\log x)^{m+2}}\right),

其中 mm 为任意固定的非负整数。这是仅保留有限项的展开，而不是收敛的无穷级数。π(x)\pi(x) 也有相应的展开。(dlmf.nist.gov)

用大O记号表示，一个经典的无条件估计为

π(x)=Li⁡2(x)+O ⁣(xe−clog⁡x),\pi(x)=\operatorname{Li}_2(x) + O\!\left(xe^{-c\sqrt{\log x}}\right),

其中 c>0c>0 为某个常数。维诺格拉多夫–科罗博夫估计将其改进为

π(x)=Li⁡2(x)+O ⁣(xexp⁡ ⁣[−c(log⁡x)3/5(log⁡log⁡x)−1/5]).\pi(x)=\operatorname{Li}_2(x) + O\!\left( x\exp\!\left[ -c(\log x)^{3/5}(\log\log x)^{-1/5} \right]\right).

这两个结果对收敛的量化描述都远比素数定理的基本陈述精确。(dlmf.nist.gov)

黎曼猜想断言，ζ函数的所有非平凡零点的实部均为 1/21/2。由此可以推出一个明显更强的估计：

π(x)=Li⁡2(x)+O(xlog⁡x).\pi(x)=\operatorname{Li}_2(x)+O(\sqrt{x}\log x).

素数定理本身只需要一个较弱的无零点结论，并不依赖于假设黎曼猜想成立。(terrytao.wordpress.com)

等差数列

一个重要推广涉及剩余类中的素数，可用模算术来表述。对固定的正整数 qq 和满足 gcd⁡(a,q)=1\gcd(a,q)=1 的整数 aa，定义

π(x;q,a)=#{p≤x:p≡a(modq)}.\pi(x;q,a)=\#\{p\leq x:p\equiv a\pmod q\}.

则有

π(x;q,a)∼1φ(q)xlog⁡x,\pi(x;q,a)\sim \frac{1}{\varphi(q)}\frac{x}{\log x},

其中欧拉函数 φ(q)\varphi(q) 表示与 qq 互素的剩余类的个数。因此，对固定模数而言，素数在这些允许的剩余类中渐近均匀分布。(dlmf.nist.gov)

要求 qq 固定这一点很重要：当模数随 xx 增长时，要得到一致估计，还需要其他结果。这一推广的解析证明使用狄利克雷 LL 函数，将ζ函数在通常的素数定理中所起的作用扩展到了更一般的情形。(terrytao.wordpress.com)

推论与局限

对任意固定的 A>1A>1，将定理在 AxAx 和 xx 处给出的估计相减，得到

π(Ax)−π(x)∼(A−1)xlog⁡x.\pi(Ax)-\pi(x)\sim\frac{(A-1)x}{\log x}.

这一推论给出了某类区间中的素数个数，其中区间长度与其起点之比为固定常数。它并不能自动给出短得多的区间中的类似估计，因为两次累积计数的误差可能大于所求的素数个数。(terrytao.wordpress.com)

同样，近似值 1/log⁡x1/\log x 描述的是宏观频率，而不是某个未明确指定的单独整数为素数的概率。素数定理既不能确定素数的确切位置，也不能证明相邻整数是否为素数彼此独立。对于指定模式的问题，例如相差 22 的素数对，仅有单个素数的渐近计数还不够，还需要更多信息。(terrytao.wordpress.com)

参考来源

  1. DLMF: §27.2 Functionsdlmf.nist.gov
  2. DLMF: §27.12 Asymptotic Formulas: Primesdlmf.nist.gov
  3. 246B, Notes 4: The Riemann zeta function and the prime number theoremterrytao.wordpress.com
  4. The Prime Number Theoremmath.ucdavis.edu
  5. The Prime Number Theorempublications.ias.edu
  6. Not Always Buried Deep: A Second Course in Elementary Number Theorypollack.uga.edu
  7. Structure and randomness in the prime numbersterrytao.wordpress.com
  8. Expository articlesterrytao.wordpress.com
  9. A Banach algebra proof of the prime number theoremterrytao.wordpress.com
  10. 254A, Notes 2: Complex-analytic multiplicative number theoryterrytao.wordpress.com