算术基本定理 · aiwiki.page

算术基本定理是数论中的一项基础性结论：每个大于1的整数都可以表示为素数的乘积，且除因子的排列顺序外，这种表示是唯一的。它既确立了素因数分解的存在性，也确立了其中各素数及其重数的唯一性。(courses.csail.mit.edu)

定理的表述与含义

对于每个整数 $n>1$ ，都存在互不相同的素数 $p_1<p_2<\cdots<p_r$ 以及正整数 $a_1,\ldots,a_r$ ，使得

n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_r^{a_r}.

将素数按递增顺序排列后，各素数及其指数均由 $n$ 唯一确定。这种表示称为 $n$ 的素数幂分解。(faculty.etsu.edu)

例如，

360=2^3\cdot3^2\cdot5.

定理的含义是：360的任何素因数分解都恰好包含三个等于2的因子、两个等于3的因子和一个等于5的因子。乘法顺序不同，并不意味着素因数分解不同。相比之下，分解为任意整数的乘积则未必唯一，例如 $12=2\cdot6=3\cdot4$ 。这些例子说明了素因数分解与不加限制的因数分解之间的区别。(courses.csail.mit.edu)

定理的标准表述不包括1。如果约定不含任何因子的乘积等于1，那么定理也可以表述为适用于所有正整数，其中1用空乘积表示。对于负整数，则先分解其绝对值，再加上负号。在整数环（数学）中， $1$ 和 $-1$ 是单位，即它们在该环中具有乘法逆元。因此，非零整数分解的唯一性，是指允许改变因子的顺序或将因子乘以单位时，分解仍然唯一。(en.wikipedia.org)

证明

定理的两个部分需要不同的论证。存在性源于合数可以分解为更小的正整数因子这一事实；唯一性则依赖于素数整除的一条更强的性质。(web.stanford.edu)

存在性

可以采用强数学归纳法给出存在性的数学证明。

整数2是素数，因此它本身就构成一个素因数分解。假设从2到 $n-1$ 的每个整数都有素因数分解。如果 $n$ 是素数，其分解就只含 $n$ 本身。否则，

n=ab,\qquad 1<a<n,\quad 1<b<n.

根据归纳假设， $a$ 和 $b$ 都有素因数分解。将这两个分解相乘，就得到 $n$ 的素因数分解。(web.stanford.edu)

等价地说，反复拆分合数因子的过程必然终止：每次拆分都把一个因子替换为更小的正整数，而正整数不可能形成无限递减的序列。这一终止原理与良序原理密切相关。(cs.clarku.edu)

欧几里得引理

欧几里得引理指出，如果素数 $p$ 整除乘积 $ab$ ，那么 $p$ 至少整除 $a$ 和 $b$ 中的一个：

p\mid ab\quad\Longrightarrow\quad p\mid a\ \text{或}\ p\mid b.

这里， $p\mid a$ 表示 $a$ 是 $p$ 的整数倍。为证明该引理，假设 $p\nmid a$ 。由于 $p$ 是素数， $p$ 与 $a$ 的最大公约数便是1。由欧几里得算法可以得到裴蜀等式，从而存在整数 $x,y$ ，满足

xp+ya=1.

两边乘以 $b$ ，得到

xpb+yab=b.

左边的两项都能被 $p$ 整除，因此 $p\mid b$ 。反复应用这一引理，可将其推广到任意有限个因子的乘积：若一个素数整除该乘积，就必定整除其中至少一个因子。(courses.csail.mit.edu)

唯一性

假设某个整数有两个素因数分解：

n=p_1p_2\cdots p_k=q_1q_2\cdots q_m,

其中，重复出现的素数分别写出。由于 $p_1$ 整除右边的乘积，欧几里得引理表明，它必定整除某个 $q_j$ 。又因为 $q_j$ 是素数，所以 $p_1=q_j$ 。重新排列因子，并约去这个共同的素数。

对剩余的乘积重复同样的论证。任何一边都不可能先于另一边约尽所有因子，因为非空的素数乘积大于1。因此 $k=m$ ，且两个因子列表包含完全相同的素数，各素数出现的次数也完全相同。(itamar.web.illinois.edu)

历史发展

这一定理的重要组成部分已出现在欧几里得的《几何原本》中。第七卷命题30阐述了如今称为欧几里得引理的素数整除性质。第九卷命题14则给出了一个相关结论，涉及能被指定素数整除的最小数。这些命题为唯一分解奠定了古代基础，但不应直接将它们等同于完整的现代表述。(mathcs.clarku.edu)

卡尔·弗里德里希·高斯在1801年出版的《算术研究》第16条中，明确陈述并证明了唯一性。他将素因数分解的存在性视为显然的事实，而没有另行给出证明。因此，从历史发展来看，对素因数分解的初步认识，与明确认识并证明其唯一性，是有所区别的。(la.wikisource.org)

推论与应用

整除性与最大公约数

素因数分解将整除性问题化为指数的比较。用同一组素数表示两个正整数：

a=\prod_p p^{\alpha_p}, \qquad b=\prod_p p^{\beta_p},

其中，未出现的素数对应的指数为零，且只有有限多个指数非零。于是，

a\mid b \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha_p\leq\beta_p\text{ 对每个 }p\text{ 都成立}.

由此可得

\gcd(a,b)=\prod_p p^{\min(\alpha_p,\beta_p)}.

这一公式成立，是因为公约数中任一素因子出现的次数，都不能超过它在两个整数中任一个的分解中出现的次数。(faculty.etsu.edu)

例如，

72=2^3\cdot3^2,\qquad 120=2^3\cdot3\cdot5,

所以它们的最大公约数为 $2^3\cdot3=24$ 。若改为对每个素数取较大的指数，则得到它们的最小公倍数，即 $2^3\cdot3^2\cdot5=360$ 。这些都是上述指数比较的直接应用。(faculty.etsu.edu)

约数与完全幂

对于

n=p_1^{a_1}\cdots p_r^{a_r},

给每个 $p_i$ 选择一个从0到 $a_i$ 的指数，就能唯一地得到一个正约数。因此，正约数的个数为

(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_r+1).

同样，对于正整数 $k$ ， $n$ 是完全 $k$ 次幂，当且仅当每个指数 $a_i$ 都能被 $k$ 整除。这两个结论都直接来自唯一性：约数从已有的素因子中选取一部分，而将一个整数取 $k$ 次幂，则会把它的每个素因子指数都乘以 $k$ 。(faculty.etsu.edu)

有理数

允许指数取负整数，就可以将这一定理推广到正有理数。对分子和分母进行素因数分解，可得到唯一的表达式

q=\prod_p p^{e_p}, \qquad e_p\in\mathbb Z,

其中只有有限多个指数非零。例如，

\frac{18}{35}=2\cdot3^2\cdot5^{-1}\cdot7^{-1}.

这是对分子和分母应用整数的素因数分解，并将对应指数相减的直接结果。(faculty.etsu.edu)

推广与局限

在抽象代数中，整数的这一定理是唯一分解整环的典范。这种环没有零因子，且每个非零、非单位元素都能分解为不可约元素的乘积；除因子的排列顺序以及乘以单位外，这种分解是唯一的。如果一个元素的任何因式分解中都至少有一个因子是单位，就称该元素为不可约元素；素元则满足欧几里得引理中所用的乘积整除性质。这两个概念在整数中是一致的，但在其他环中未必一致。(arxiv.org)

一个典型的反例是

\mathbb Z[\sqrt{-5}] =\{a+b\sqrt{-5}:a,b\in\mathbb Z\}.

在这个环中，

6=2\cdot3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}).

式中列出的四个因子都是不可约元素，但仅靠重新排列因子或将因子乘以单位，无法使这两个分解相同。因此，元素的唯一分解在此并不成立。这并不与算术基本定理矛盾，因为该定理原本适用的范围是通常的整数。(arxiv.org)

在代数数论中，即使元素的分解不再唯一，理想（环论）的分解仍可能保持唯一性。例如， $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ 的每个非零真理想都能唯一地分解为素理想的乘积，因子的排列顺序除外。区分元素的分解与理想的分解，是算术观点的一项核心拓展。(arxiv.org)

参考来源

Fundamental Thm. of Arithmeticcourses.csail.mit.edu
Section 2. Unique Factorizationfaculty.etsu.edu
Math 79SI Notesweb.stanford.edu
MATH 417: Introduction to abstract algebra — 9/4: Unique factorisationitamar.web.illinois.edu
Euclid's Elements, Quick Tripmathcs.clarku.edu
A Historical Survey of the Fundamental Theorem of Arithmeticmath.ubc.ca
Disquisitiones arithmeticae/Sectio secundala.wikisource.org
How do elements really factor in Z[sqrt(-5)]?arxiv.org
Fundamental theorem of arithmeticen.wikipedia.org