自然数

自然数是用来计算物体个数或表示有序列表中位置的数。自然数通常写作 $1,2,3,\ldots$，但另一种广泛使用的约定也包括零，即 $0,1,2,3,\ldots$。自然数构成了数学中的一种基本数系，是初等算术和构造更大数系的基础。无论采用哪种约定，自然数都不包括负整数或非整数的分数。(openstax.org)

定义与记号

自然数集通常记作 $\mathbb N$。由于不同文献对自然数起点的约定有所不同，明确给出定义十分重要。以下写法不存在歧义：

其中 $\mathbb Z$ 表示整数集。除非另有说明，本文采用包含零的约定。一些初等教材仅将正整数称为“自然数”（natural numbers），而将包含零的集合称为“非负整数”（whole numbers）。(openstax.org)

数本身与它的书写表示并不相同。例如，十进制数字 $12$ 采用位值制记数法：其中的数字分别表示一个十和两个一。改变记数方式并不会改变所表示的数量。因此，自然数是数学对象，而不是某一组特定的书写符号。(openstax.org)

算术与次序

自然数相加或相乘，结果总是自然数，也就是说，自然数集对这两种运算具有封闭性。这两种运算都满足结合律和交换律，乘法对加法满足分配律。零是加法单位元，一是乘法单位元。这些定律赋予自然数相应的算术结构，该结构随后可扩展到整数和有理数。(ams.org)

自然数集对减法和除法并不封闭。例如，$3-5=-2$ 的结果是负整数，而 $3/2$ 的结果是非整数的有理数。这些局限促使人们扩展数系。按照通常的包含关系，

其中 $\mathbb R$ 表示实数集。(openstax.org)

自然数的通常次序是离散的：在 $n$ 与 $n+1$ 之间不存在自然数。每个自然数都有后继，因此不存在最大的自然数。一个更深层的性质是良序原理：$\mathbb N$ 的每个非空子集都有最小元素。这一性质为选取某个命题的最小反例进行论证提供了依据。(math.purdue.edu)

公理与归纳法

皮亚诺公理通过一个起始元素、一个后继运算和一条归纳原理来描述自然数。在以零为起点的表述中，零是自然数；每个自然数都有一个同样为自然数的后继；零不是任何自然数的后继；不同的自然数具有不同的后继。最后，任何包含零、且包含其每个元素的后继的子集，都包含所有自然数。这些公理刻画了计数所依据的递进结构。(smith-at-sfsu.net)

最后一个条件导出了数学归纳法，这是一种数学证明方法。要证明命题 $P(n)$ 对所有自然数都成立，先证明 $P(0)$，再证明由 $P(n)$ 可以推出 $P(n+1)$。强归纳法则允许在归纳步骤中使用此前所有情形。与检验大量例子不同，归纳法能证明一个命题在整个无限定义域上成立。(webapps.math.uci.edu)

算术运算也可以通过递归来定义。用 $S(n)$ 表示后继，则加法和乘法满足

这些定义从初始值出发，通过逐步递推构造运算，而不是预先假定人们熟悉的运算定律。随后可以用归纳法证明这些定律。(ams.org)

集合论构造

在集合论中，自然数可以用集合表示。冯·诺依曼构造从空集开始，定义

因此，

每个数都是由它之前的所有数构成的集合，同时表示一个有限的大小和序列中的一个位置。这一构造与约翰·冯·诺依曼有关。(smith-at-sfsu.net)

这并不是唯一可行的表示方式。另一种构造使用逐层嵌套的单元素集合。不同的表示方式可以实现相同的后继结构和算术运算；其目的在于将自然数纳入数学基础的框架，而不是将日常计数等同于特定的实物。(smith-at-sfsu.net)

无穷与整除性

自然数集是可数无限集的标准模型。如果一个无限集的元素可以与自然数一一对应，这个集合就是可数无限集。例如，映射 $n\mapsto2n$ 将 $\mathbb N$ 与非负偶整数集一一对应，尽管后者是前者的真子集。整数集和有理数集也都是可数的，而实数集不可数。(dpmms.cam.ac.uk)

在数论中，整除关系用于研究正自然数的乘法结构。素数是大于一、且正因数只有一和自身的整数。算术基本定理指出，每个大于一的整数都可以分解为素数的乘积，且除各素因数的排列顺序外，这种分解是唯一的。例如，$60=2^2\cdot3\cdot5$。一不属于素数，零则不在这一定理的适用范围内。素数本身构成一个无限集，这一结论传统上归功于欧几里得。(nrich.maths.org)