数是一种抽象的数学对象，用于计数、度量、排序和标记。最基本的例子是用来计数的1、2、3等。几千年来，数学家把这一概念逐步扩展到零、负数、分数、无理数和复数。每一次扩展都解决了原有数系无法处理的问题。数与数字（数码）不同：数字是代表数的一个或一组符号。例如，数“七”可以写成“7”“VII”或“七”。数是算术和数论的研究对象，几乎所有定量学科都以它为基础，从物理学到经济学都是如此。
计数的起源
计数比文字更古老。人们最早借助手指、石子以及在木头或骨头上刻痕来记录数量。伊尚戈骨出土于今刚果民主共和国的伊尚戈地区，距今已有两万多年。骨上的刻痕分组排列，学者对其含义看法不一，有人认为是阴历历法，有人认为是乘法表，也有人认为只是简单的计数记录，至今没有定论。计数刻痕依靠一一对应，即一个记号对应一个物体。数量一大，这种方法就难以应付，于是人们开始把记号分组，并为各组创造专门的符号。在美索不达米亚，人们用黏土筹码记录货物；印加人则使用结绳记事系统“奇普”，能够保存复杂的数字记录。
记数系统
早期的书面记数系统大多采用累加制。古埃及的记数系统就是累加制，也就是说符号的位置无关紧要，书吏只需按需要把代表个、十、百等的符号重复书写若干次。罗马数字的原理与此类似。巴比伦人发展出六十进制的位值制，符号的值取决于它所处的位置。今天把一小时或一度分为60分，就是这一体系留下的痕迹。在中国，汉朝及更早时期使用的算筹采用十进位值制，后来算盘成为广泛使用的计算工具。
决定性的一步是把位值制与表示零的书写符号结合起来。这一步于公元1千纪在印度完成。由此产生的印度－阿拉伯数字系统经由阿拔斯王朝的学者传播开来，并在中世纪传入欧洲。到文艺复兴时期，它在计算领域已基本取代了罗马数字。以十为基数只是一种约定，很可能源于人有十根手指，并非数学上的必然。只使用0和1的二进制，则是计算机电子电路的天然选择。
数的种类
现代数学把常见的数系排成一条链，后一个数系包含前一个：
- 自然数（ℕ）：0、1、2、3……有些作者从1开始。自然数用于计数和排序。素数除1和自身外没有其他因数，是自然数在乘法意义上的基本构件。
- 整数（ℤ）：自然数及其相反数。在整数中，减法可以不受限制地进行。负数早已出现在《九章算术》等中国典籍中，欧洲数学家却抵制了它们好几个世纪。
- 有理数（ℚ）：整数之比，如¾或−2/5。在有理数中，可以除以任何非零的数。
- 实数（ℝ）：全体有理数加上无理数，如√2、π和e，它们无法写成分数。实数与一条连续直线上的点一一对应，是微积分的基本舞台。
- 复数（ℂ）：形如a + bi的数，其中i² = −1。任何多项式方程在复数范围内都有解，这一结论称为代数基本定理。复数在电气工程和量子力学中不可或缺。
在这些数系之外还有更多体系，包括乘法不再满足交换律的四元数，以及格奥尔格·康托尔提出的超限基数和超限序数，后者用来衡量无穷集合的大小和次序。
历史上的危机与扩展
上述扩展中，有好几次起源于思想上的危机。相传古希腊数学家发现，正方形的对角线与边长之比无法表示为两个整数之比。这一发现动摇了毕达哥拉斯学派“万物皆可用整数比度量”的信念。此后很长一段时间里，希腊数学把几何学置于算术之上。负数和虚数最初是解方程时出现的棘手中间结果。16世纪的意大利代数学家虽然使用它们，却心存疑虑；直到复平面等几何解释使其变得直观之后，它们才被完全接受。
艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨创立微积分时，依赖的是对实数连续统的直观理解，缺乏严格的基础。19世纪，理查德·戴德金和康托尔从有理数出发构造出实数，朱塞佩·皮亚诺则为自然数建立了公理体系。这些成果使数有了坚实的逻辑基础。
基础与哲学
在现代数学基础中，数通常在集合论的框架内定义。一种常见的构造是把零定义为空集，把每个自然数定义为所有比它小的自然数组成的集合。在此基础上，整数、有理数、实数和复数被逐步构造出来，每一步都可以用数学证明加以检验。库尔特·哥德尔的不完备性定理表明：任何一致的、可有效公理化的系统，只要足以表达自然数的算术，就无法证明关于自然数的所有真命题。
数究竟是什么，是哲学和形而上学中由来已久的问题。柏拉图主义者认为数独立于心灵而存在；形式主义者把数看作按规则操作的符号；直觉主义者则视之为心灵的构造。戈特洛布·弗雷格等逻辑主义者试图把算术还原为逻辑学。早在古代，亚里士多德就主张数是从可数事物中抽象出来的，而非独立存在的实体。
科学与日常生活中的数
数使测量成为可能，而测量又使定量科学、货币、贸易和行政管理成为可能。概率和统计学用数来描述不确定性和变异。有些数在许多领域都具有特殊意义：π支配着圆和波，e支配着连续增长，i支配着旋转和振荡。欧拉恒等式e^(iπ) + 1 = 0把这三个数与0和1联系在一起。各种文化还赋予某些数特定的象征意义，例如在中文里8象征兴旺发达，西方部分地区则忌讳13。这些含义属于文化范畴，与数学无关。
参考来源
- Tally marksen.wikipedia.org
- Tally marks emerge in Africa as humanity's first numeral systempeterschulte.org
- The Evolution of Number Systemflexbooks.ck12.org
- The Origin of Number Systems - Origin Traceorigin-trace.com