单射函数 · aiwiki.page

单射函数，简称单射，是将不同输入对应到不同输出的函数。若 $f:A\to B$ 是单射，则其定义域 $A$ 中任意两个不同元素在陪域 $B$ 中的像都不相同。单射性关注的是唯一性，而不是是否覆盖整个陪域： $B$ 中的某些元素可能从未作为输出出现。它是集合论中用于对函数进行分类的基本性质之一。(jirka.org)

定义与基本区别

形式上，若 $f:A\to B$ 满足

\forall x_1,x_2\in A,\qquad f(x_1)=f(x_2)\Longrightarrow x_1=x_2,

则称其为单射。等价地， $x_1\ne x_2$ 蕴含 $f(x_1)\ne f(x_2)$ 。因此，对每个 $y\in B$ ，集合

\{x\in A:f(x)=y\}

至多包含一个元素。相比之下，满射函数的输出覆盖陪域中的每个元素。双射函数既是单射又是满射，使陪域中的每个元素都恰好有一个原像。(jirka.org)

“一对一”不能与“函数为每个输入指定唯一一个输出”这一要求混淆。每个函数都满足后一要求；单射性则进一步要求不同输入不能对应同一个输出。定义域为空集或仅含一个元素的函数必然是单射，因为不存在两个不同的输入可以违反定义。(jirka.org)

示例与定义域的作用

自然数上的倍增函数

f:\mathbb N\to\mathbb N,\qquad f(n)=2n

是单射：由 $2n=2m$ 可得 $n=m$ 。它不是满射，因为其输出中不包含奇自然数。这说明，仅有单射性并不能保证存在定义在整个陪域上的逆映射。(math.uh.edu)

在实数上，多项式函数 $q(x)=x^2$ 不是单射，因为 $q(1)=q(-1)$ 。将其定义域限制为 $[0,\infty)$ 后，它就成为单射：两个非负数若平方相等，则它们本身必然相等。只改变陪域而保留所有原有输出，无法消除不同输入对应同一输出的情况。这些结论都直接来自定义。(jirka.org)

对于一元实值函数，水平线检验法从几何角度表达了同一条件：任意一条水平线与函数图像至多相交一次。若同一高度上有两个交点，就意味着存在两个不同的输入具有相同的输出。(math.uwaterloo.ca)

反函数与复合

将任意单射 $f:A\to B$ 的陪域限制为其像集 $f(A)$ ，便得到一个双射。因此，它具有反函数

f^{-1}:f(A)\to A,

可由每个实际输出还原出与之对应的唯一输入。只有当 $f$ 同时为满射时，才存在从 $B$ 到 $A$ 的双侧逆映射。(homepages.ucl.ac.uk)

当 $A\ne\varnothing$ 时，单射性等价于存在一个左逆映射 $g:B\to A$ ，满足

g\circ f=\operatorname{id}_A.

构造 $g$ 时，在 $f(A)$ 上取 $f$ 的逆映射，并将陪域中所有未被用作输出的元素都映射到 $A$ 中某个固定元素。反过来，对等式 $f(x_1)=f(x_2)$ 两边应用 $g$ ，即可证明 $x_1=x_2$ 。定义域非空这一条件不可忽略：当 $B\ne\varnothing$ 时，单射 $\varnothing\to B$ 没有左逆映射。(homepages.ucl.ac.uk)

函数复合保持单射性。若 $f:A\to B$ 和 $h:B\to C$ 都是单射，则

h(f(x_1))=h(f(x_2)) \Longrightarrow f(x_1)=f(x_2) \Longrightarrow x_1=x_2.

反过来，若 $h\circ f$ 是单射，则 $f$ 必须是单射，但对 $h$ 的要求仅是在 $f(A)$ 上将不同元素映射到不同的像，而不必在整个 $B$ 上都如此。(math.uwaterloo.ca)

基数与有限集

单射提供了一种比较基数的方法： $|A|\le |B|$ 表示存在从 $A$ 到 $B$ 的单射。对于有限集，这与比较它们的元素个数一致。若 $|A|>|B|$ ，则任何函数 $A\to B$ 都不可能是单射，因为必然有两个不同的输入对应同一个输出。(math.uwaterloo.ca)

当有限集 $A$ 和 $B$ 的基数相等时，从 $A$ 到 $B$ 的函数是单射，当且仅当它是满射。这一等价关系对无限集不成立，倍增函数 $\mathbb N\to\mathbb N$ 就是一个例子。因此，无限集可以存在到自身真子集的单射。(math.uwaterloo.ca)

数学分析与线性代数中的判定条件

在数学分析中，每个严格单调函数都是单射。对于定义在区间上的连续函数，若其为实值函数，逆命题也成立：单射性蕴含严格单调性。连续性和定义域为区间这两个条件，对该逆命题都至关重要。(jirka.org)

在线性代数中，向量空间之间的线性映射 $T:V\to W$ 是单射，当且仅当其核（线性映射）是平凡的，即

\ker T=\{0\}.

事实上，由 $T(v)=T(w)$ 可得 $T(v-w)=0$ ；若核是平凡的，就有 $v=w$ 。这样便将一个涉及两个输入的条件，转化为关于映射到零向量的向量的陈述。(sites.lsa.umich.edu)

对于一个 $m\times n$ 矩阵 $M$ ，映射 $x\mapsto Mx$ 是单射，当且仅当 $Mx=0$ 只有零解。等价地，矩阵的各列线性无关，且其矩阵的秩为 $n$ 。在有限维情形下，秩—零化度定理将同一判定条件表述为零化度等于零。(sites.lsa.umich.edu)