指数函数是形如 (f(x)=a^x) 的函数，其中底数 (a) 是固定的正实数，通常要求 (a\ne1)，而指数 (x) 是变量。这个术语也可特指自然指数函数 (\exp(x)=e^x)，其底数为欧拉数，近似等于 (2.71828)。指数函数描述的是乘法式变化：输入增加相同的量，输出就按相同的比例变化。这一点使它区别于 (x^2) 等幂函数，后者的变量位于底数中。(openstax.org)
定义与代数结构
对于正底数，乘方运算可以通过开方从整数指数推广到有理数指数，再利用连续性推广到任意实数指数。等价地， [ a^x=\exp(x\ln a), ] 其中 (\ln) 表示自然对数。底数为正，保证了函数对每一个实数输入都有实数值；负底数一般无法满足这一条件。当 (a=1) 时，得到常值函数 (1)，通常将其排除在非常值指数函数这一类之外。(openstax.org)
基本的指数运算法则为 [ a^{x+y}=a^xa^y,\qquad a^0=1,\qquad a^{-x}=\frac1{a^x}. ] 因此，乘方运算将输入的加法转化为输出的乘法。对于任意固定增量 (h)， [ \frac{a^{x+h}}{a^x}=a^h, ] 该比值与 (x) 无关。例如，(x) 每增加 (1)，(2^x) 就变为原来的两倍，而 (2^{-x}) 则减为原来的一半。更一般的表达式 (Ca^{kx}) 分别引入了输出和输入的尺度因子，但并未改变其基本的乘法结构。(openstax.org)
图像与反函数
(a^x) 的函数的定义域是全体实数，值域是全体正实数。它的函数图像经过 ((0,1))，且从不与横轴相交。它是连续函数，也是严格的单调函数：当 (a>1) 时严格递增，当 (0<a<1) 时严格递减。对于 (a>1)，当 (x\to-\infty) 时，函数值趋于零；当 (x\to+\infty) 时，函数值无限增大。对于 (0<a<1)，情况则相反。(openstax.org)
严格单调性使该函数成为单射函数。它的反函数是 (\log_a x)，定义于正数输入： [ \log_a(a^x)=x,\qquad a^{\log_a x}=x. ] 指数函数与对数函数的图像关于直线 (y=x) 对称。对于 (C>0)，取对数还可以将指数关系 (y=Ca^x) 转化为线性关系 (\ln y=\ln C+x\ln a)。(openstax.org)
自然指数函数与微积分
自然指数函数的独特之处在于它的导数： [ \frac{d}{dx}e^x=e^x. ] 因此，它的瞬时变化率等于其当前函数值。它是以下微分方程及初始条件的唯一解： [ y'=y,\qquad y(0)=1. ] 对于一般的正底数， [ \frac{d}{dx}a^x=(\ln a)a^x. ] 只要 (g) 可微，由链式法则可得 [ \frac{d}{dx}e^{g(x)}=g'(x)e^{g(x)}. ] 这些恒等式说明了指数函数为何在微积分中占据核心地位。(openstax.org)
由求导公式可直接得到积分公式 [ \int e^{kx},dx=\frac{e^{kx}}k+C,\qquad \int a^x,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C, ] 其中分别要求 (k\ne0) 和 (a\ne1)。再次求导得到 ((a^x)''=(\ln a)^2a^x>0)，因此每个非常值的实指数函数都是严格的凸函数，递减的指数函数也不例外。(openstax.org)
另一种定义使用处处收敛的幂级数： [ \exp(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} =1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots, ] 其中 (n!) 是阶乘。这也是该函数在零点展开的泰勒级数。特别地，在零点附近有 (\exp(x)=1+x+O(x^2))，由此可得到局部线性近似。(dlmf.nist.gov)
增长与衰减模型
若某个量的变化率与其当前大小成正比，则它满足 [ \frac{dN}{dt}=kN,\qquad N(t)=N_0e^{kt}. ] 对于 (N_0>0)，(k) 为正时产生指数增长，(k) 为负时产生指数衰减。保持恒定的是比值 (N'(t)/N(t)=k)，而不是单位时间内的绝对增量。增长的倍增时间为 (\ln2/k)；衰减的半衰期为 (\ln2/|k|)。这两个时间间隔都与初始量无关。(openstax.org)
应用包括理想化的种群增长、放射性衰变、连续复利和热弛豫。在冷却模型中，按指数规律变化的量是物体的温度与环境温度之差，而不一定是物体的绝对温度。这类模型依赖于比例变化率恒定等假设；环境条件的变化可能使这一假设不再成立。(openstax.org)
复数推广与计算
同一个级数可为每个复数定义 (\exp(z))。它在整个复平面上都是解析函数，且没有零点。对于实数 (x,y)， [ e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y). ] 因此，纯虚数输入描述的是旋转，而不是正实数范围内的增长。该函数以 (2\pi i) 为周期，所以它在复数域上的推广不是单射，也不可能有一个全局反函数。(dlmf.nist.gov)
在数值分析中，可以先对自变量进行约化，再对级数求和来计算函数值。例如，将 (x) 写成 (x=m\ln10+r)，选择整数 (m)，使得 (|r|\le\frac12\ln10)。于是 [ e^x=10^me^r. ] 较小的自变量使级数计算更为方便，而因子 (10^m) 则将结果还原到所需的尺度。复数情形的计算也可以类似地将实指数因子与正弦、余弦因子分开处理。(dlmf.nist.gov)