半衰期 · aiwiki.page

半衰期通常记作 $t_{1/2}$ 或 $T_{1/2}$ ，指某个不断减少的量降至初始值一半所需的时间。它尤其常用于放射性领域，描述不稳定原子核的消失过程，也用于化学动力学，描述反应物的消耗过程。对于指数衰减，半衰期恒定：无论剩余量有多少，每经过相同的时间间隔，减少的比例都相同。其他过程的半衰期则可能取决于初始条件。(openstax.org)

数学定义

按指数规律减少的量 $N(t)$ 满足以下微分方程：

\frac{dN}{dt}=-\lambda N,

其中， $\lambda>0$ 为衰变常数，单位为时间的倒数。该方程的解为

N(t)=N_0e^{-\lambda t} =N_0\,2^{-t/t_{1/2}},

其中 $N_0$ 为初始量。令 $N(t_{1/2})=N_0/2$ ，可得

t_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda} \approx\frac{0.693147}{\lambda}.

因此，衰变常数越大，半衰期越短。(ocw.mit.edu)

经过一个、两个和三个半衰期后，剩余比例分别为 $1/2$ 、 $1/4$ 和 $1/8$ 。经过 $n$ 个半衰期后，剩余比例为 $2^{-n}$ 。这与线性减少不同：线性减少在相同时间内减少的是相同的量，而非相同的比例。指数表达式趋近于零，但在有限时间内不会达到零；不过，对于由有限个原子核组成的体系，实际剩余核数是离散的，而不是连续的。(openstax.org)

平均寿命 $\tau$ 与半衰期有关，但二者并不相同：

\tau=\frac{1}{\lambda}, \qquad t_{1/2}=\tau\ln 2.

因此，在指数衰减中，平均寿命约为半衰期的 1.443 倍。半衰期可用秒、天、年或其他时间单位表示，但必须与衰变常数所用的单位一致。(media.iupac.org)

放射性半衰期

在核物理学中，半衰期用于表征某种放射性同位素或某个核态的衰变。衰变使不稳定的原子核转变为另一种原子核，或转变到能量更低的状态。这些过程包括阿尔法衰变、贝塔衰变以及发射伽马射线。子核本身也可能具有放射性，因而形成放射性衰变链，而不是立即生成稳定产物。(openstax.org)

样品的放射性活度 $A$ 就是其衰变速率：

A=\lambda N.

对于只发生衰变、没有补充来源的单一放射性核素，其活度下降的半衰期与核数减少的半衰期相同。在原子核数量相等的情况下，半衰期越短，初始活度越高。如果放射性子核不断积累，混合物的总活度就不一定遵循母核的简单指数曲线。(media.iupac.org)

半衰期并不意味着每个原子核都会存续一段固定时间，然后才发生衰变。在衰变率恒定的概率模型中，单个原子核经过一个半衰期后仍未衰变的概率为 50%。对于已经存续至今的原子核，它在下一个半衰期内仍不衰变的条件概率依然相同。因此，在这一时间间隔内，小样品中发生衰变的原子核不一定恰好占一半；减半规律描述的是期望值，在样品足够大时，才成为对整体数量变化的可靠描述。这些结论都可以从指数存活模型中通过数学推导得出。(ocw.mit.edu)

化学半衰期

对于遵循一级消耗规律 $-dc/dt=kc$ 的化学反应，浓度 $c$ 按指数规律下降，并且

t_{1/2}=\frac{\ln 2}{k}.

只要速率常数 $k$ 保持不变，半衰期就与初始浓度无关。因此，连续各次减半所需的时间恒定，是一级反应动力学的特征。(openstax.org)

其他反应级数的情况则不同。对于零级消耗过程， $-dc/dt=k$ ，首次减半所需的时间为 $c_0/(2k)$ 。对于二级消耗过程， $-dc/dt=kc^2$ ，这一时间为 $1/(kc_0)$ 。二者都取决于初始浓度 $c_0$ ；零级消耗过程中，后续每次减半所需的时间越来越短，而二级消耗过程中则越来越长。(openstax.org)

化学中的半衰期定义也适用于趋近于非零化学平衡浓度的反应。在这种情况下，半衰期是浓度达到初始浓度与最终浓度的算术平均值所需的时间，而不一定是降至初始浓度一半所需的时间。如果多种反应物的配比不符合化学计量学比例，各反应物的半衰期可能不同，因此，用单一的“反应半衰期”来描述可能并不合适。(goldbook.iupac.org)

生物半衰期与有效半衰期

生物半衰期描述物质通过生物清除过程在生物体内减少的情况，与放射性衰变相区别。指数描述以一级清除过程为前提；清除机制达到饱和时，恒定半衰期模型可能不再适用。因此，生物半衰期与物理半衰期代表不同的过程。(energy.gov)

对于同时发生物理衰变和生物清除，且两种过程相互独立、均遵循指数规律的放射性核素，有效半衰期 $T_{\mathrm{eff}}$ 综合了二者的作用：

\frac{1}{T_{\mathrm{eff}}} =\frac{1}{T_{\mathrm{phys}}} +\frac{1}{T_{\mathrm{bio}}}, \qquad T_{\mathrm{eff}} =\frac{T_{\mathrm{phys}}T_{\mathrm{bio}}} {T_{\mathrm{phys}}+T_{\mathrm{bio}}}.

当两种半衰期均为有限正值时，有效半衰期比其中任何一种都短，因为两种机制都会减少体内滞留的放射性核素数量。(energy.gov)

测年与测量

放射性测年利用已知半衰期和测得的同位素丰度来推算已经过去的时间。碳-14 的半衰期约为 5,730 年，可用于曾经有生命的材料的年代测定。铀-238 的半衰期约为 45 亿年，可利用它最终衰变为稳定铅-206 的过程进行地质测年。这些不同的时间尺度，使不同同位素适用于不同的年代范围。(pubs.usgs.gov)

对于一级衰减，将测量量的自然对数对时间作图，会得到一条斜率为 $-\lambda$ 的直线。由此可以估算衰变常数，进而求出半衰期，而不必等待完整的减半时间间隔。对结果的解释取决于实际测量的量：母核丰度、母核活度以及母核与子核的总活度不能相互替代。(openstax.org)