函数的定义域 · aiwiki.page

函数的定义域是使函数有定义的所有输入所组成的集合。在记号 $f:A\to B$ 中，定义域为 $A$ ： $A$ 中的每个元素都必须恰好对应 $B$ 中的一个输出。定义域可以由数、有序元组或其他数学对象组成。它既不同于允许输出的集合，也不同于实际取得的输出的集合。因此，要确定一个函数，仅有代数公式还不够，还必须明确它的输入集合。(jirilebl.github.io)

形式定义与相关集合

在集合论中，函数 $f:A\to B$ 可以表示为笛卡尔积 $A\times B$ 的一个子集，其中每个 $x\in A$ 都恰好对应一个有序对 $(x,y)$ 。这个有序对集合就是函数的函数图像。定义域可以从图像中恢复：

\operatorname{dom}(f)=\{x:\text{存在 }y\text{ 使得 }(x,y)\in f\}.

集合 $B$ 是函数的陪域，而函数的像（也常称为值域）为

f(A)=\{f(x):x\in A\}.

像是陪域的子集，但不一定等于陪域。(jirilebl.github.io)

例如，函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ ， $f(x)=x^2$ 的定义域和陪域都是全体实数，但它的像为 $[0,\infty)$ 。输入与输出的作用不同：负数可以作为输入，尽管函数不会产生负数输出。一个函数是满射函数，当且仅当它的像等于陪域。(jirilebl.github.io)

指定的定义域与自然定义域

定义域可以明确指定。在 $\mathbb R$ 上定义的 $f(x)=x^2$ 与在 $[0,\infty)$ 上定义的 $g(x)=x^2$ ，虽然使用相同的公式，却是不同的函数。同样，一个仅在整数上定义的函数，不会仅仅因为其公式能对任意实数求值，就自动接受这些实数作为输入。哪些输入属于函数的定义域，取决于所声明的定义域。(jirilebl.github.io)

当给出一个初等公式却未明确指定定义域时，通常约定采用它的自然定义域，即所采用的数系中使该表达式有定义的最大子集。对于实值公式，常见的限制如下：

多项式的自然定义域为 $\mathbb R$ 。
商式须排除使分母为零的输入。
偶次根式要求被开方数非负。
实数范围内的对数要求真数严格大于零。(openstax.org)

因此， $1/(x-2)$ 的定义域为 $\mathbb R\setminus\{2\}$ ，而 $\sqrt{x-2}$ 的定义域为 $[2,\infty)$ 。这些结论都是针对实数定义域而言的：若将所采用的数系改为复数，可进行的运算就会改变，而且可能需要作出额外选择，例如选定对数的一个分支。因此，“自然定义域”只有在特定的数学背景下才有明确意义。(openstax.org)

表示方法与图形解释

定义域可以用列举元素、集合描述法或区间表示法来表示。例如，

\{x\in\mathbb R:x\ge2\}=[2,\infty).

方括号表示包含有限端点，圆括号表示不包含端点。一个被排除的点可能将定义域分成多个区间：

\mathbb R\setminus\{2\}=(-\infty,2)\cup(2,\infty).

在区间表示法中，无穷符号一侧总是使用圆括号，因为无穷不是实数端点。(openstax.org)

对于一元实函数的图像，定义域由图像上所有点的横坐标组成。因此，空点和未包含的端点都会影响定义域。不过，所显示的绘图窗口可能只呈现图像的一部分，不一定能据此确定函数的完整定义域。(openstax.org)

运算与复合

对于定义域分别为 $A$ 和 $C$ 的实值函数，逐点定义的和、差、积的定义域均为 $A\cap C$ 。它们的商的定义域为

\{x\in A\cap C:g(x)\ne0\}.

化简公式并不会使原先被排除的输入重新纳入定义域。例如，

\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\qquad(x\ne1).

这个商式仍然排除 $1$ ；在整个 $\mathbb R$ 上都有定义的多项式 $x+1$ 是原函数的延拓，而不是与原函数相同的函数。(openstax.org)

对于函数复合，内层函数的输出必须是外层函数所允许的输入：

\operatorname{dom}(g\circ f) =\{x\in\operatorname{dom}(f):f(x)\in\operatorname{dom}(g)\}.

例如，若 $f(x)=x-3$ ， $g(u)=\sqrt{u}$ ，则 $g(f(x))=\sqrt{x-3}$ 有定义，当且仅当 $x\ge3$ 。仅将原有定义域取交集，无法表达对中间输出所要求的条件。(openstax.org)

函数的限制与反函数

对函数作限制，是指只保留它在定义域某个选定子集上的对应关系。这可能改变函数是否为单射函数。平方函数在 $\mathbb R$ 上不是单射，因为 $x$ 与 $-x$ 的平方相同，但它在 $[0,\infty)$ 上是单射。(openstax.org)

将单射函数视为从其定义域到其像的映射时，其反函数的定义域就是原函数的像。因此，将 $x\mapsto x^2$ 限制在 $[0,\infty)$ 上后，它的反函数为 $y\mapsto\sqrt y$ ，定义域也为 $[0,\infty)$ 。所以，为原本不是一一对应的函数构造反函数时，限制定义域至关重要。(openstax.org)

多元函数的定义域与实际背景中的定义域

多元函数以元组作为输入，其定义域通常是欧几里得空间 $\mathbb R^n$ 的一个子集。例如，

h(x,y)=\sqrt{9-x^2-y^2}

的定义域为

\{(x,y)\in\mathbb R^2:x^2+y^2\le9\},

即半径为 $3$ 的闭圆盘，它是一个闭集。两个变量必须共同满足这一约束；分别列出各个坐标的允许取值，并不足以准确描述定义域。(openstax.org)

在应用中，实际背景可能施加公式本身所不要求的额外限制。圆柱体积公式 $V(r,h)=\pi r^2h$ 对每一对实数在代数上都有意义，但若将 $r$ 和 $h$ 分别解释为非退化圆柱的半径和高，就必须要求 $r>0$ 且 $h>0$ 。此时，定义域体现的是物理上允许的输入，而不只是能够进行算术运算的输入。(openstax.org)