反函数 · aiwiki.page

反函数是将另一个函数的输入与输出对应关系反转的函数。如果 $f$ 将 $x$ 映射到 $y$ ，那么它的反函数（记作 $f^{-1}$ ）就将 $y$ 映射到 $x$ 。只有当所考虑的每个输出都恰好对应一个原始输入时，这种反向对应才构成函数。因此，在初等数学中，单射函数被称为在其值域上具有反函数。(openstax.org)

定义与存在性

对于函数 $f:A\to B$ ，其反函数是满足以下条件的函数 $g:B\to A$ ：

g(f(x))=x\quad(x\in A),\qquad f(g(y))=y\quad(y\in B).

等价地，用函数复合表示为

g\circ f=\operatorname{id}_A,\qquad f\circ g=\operatorname{id}_B,

其中，恒等函数将每个元素映射到其自身。一个函数具有这样的双侧反函数，当且仅当它是双射函数：既是单射函数，即不同输入对应不同输出；又是满射函数，即陪域中的每个元素都是某个输入的输出。(letsprove.org)

陪域与值域的区别十分重要。单射函数 $f:A\to B$ 未必具有定义在整个 $B$ 上的反函数，但一定具有反函数 $f^{-1}:f(A)\to A$ 。因此，反函数的定义域是原函数的值域，而反函数的值域是原函数的定义域。一旦这些集合和原函数确定，反函数就是唯一的。(openstax.org)

上标 $-1$ 表示求反函数，而不是取倒数。一般而言，

f^{-1}(x)\ne \frac{1}{f(x)}.

例如，若 $f(x)=2x+3$ ，则 $f^{-1}(x)=(x-3)/2$ ，而 $f(x)$ 的倒数是 $1/(2x+3)$ 。(openstax.org)

反函数的求法与表示

对于用公式给出的函数，通常可以先写出 $y=f(x)$ ，从这个方程中解出 $x$ ，再交换变量名称，从而求得反函数。所得表达式必须同时注明适当的定义域。检验两个复合恒等式，可以确认所求函数是否确实将原来的对应关系反转。即使无法写出便于使用的显式公式，反函数也可能存在。(openstax.org)

对于以一个实数为自变量的函数，求反函数具有图像上的解释。原函数图像上的每个有序对 $(x,y)$ ，都会变为反函数图像上的 $(y,x)$ 。因此，两者的图像关于直线 $y=x$ 对称。水平线检验法可用于判断单射性：任意水平线与原函数图像的交点都不能超过一个。如果存在两个交点，交换坐标后，反向对应就会使同一个输入对应两个输出。(openstax.org)

在表格中，同样的操作就是交换输入列与输出列。如果原表格中不同输入对应相同输出，交换后的表格就不能表示一个函数。(openstax.org)

定义域限制与初等例子

定义在 $\mathbb R$ 上的多项式函数 $f(x)=x^2$ 不是单射函数，因为 $f(x)=f(-x)$ 。将其定义域限制为 $[0,\infty)$ ，就得到一个到 $[0,\infty)$ 的双射，其反函数为 $\sqrt{x}$ 。如果将定义域限制为 $(-\infty,0]$ ，则反函数为 $-\sqrt{x}$ 。这两个反函数分别对应两个经过不同定义域限制的函数，并不是同一个确定的双射所具有的两个反函数。(openstax.org)

其他常见的互为反函数的例子包括指数函数 $e^x:\mathbb R\to(0,\infty)$ 与自然对数 $\ln x:(0,\infty)\to\mathbb R$ 。周期性的三角函数需要限制定义域：正弦函数在 $[-\pi/2,\pi/2]$ 上是到 $[-1,1]$ 的双射，其反函数为反正弦函数。标准的反三角函数通过指定主值区间，使函数值具有单值性。(openstax.org)

连续性与求导

实数区间上的严格单调函数是单射函数。如果它同时也是连续函数，那么它的值域是一个区间，其反函数也连续，并且具有相同方向的严格单调性。值域为区间这一性质可由介值定理推出。仅仅单调不减或单调不增并不足以保证单射性，因为函数可能在某个子区间上保持常值。(jirka.org)

在微积分中，反函数的导数与原函数的导数存在联系。对于在 $a$ 处导数非零的连续可微函数，在 $b=f(a)$ 附近存在可微的局部反函数，且

(f^{-1})'(b)=\frac{1}{f'(a)}.

更一般地，在满足相关条件的整个区间上，

(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}.

对 $f(f^{-1}(y))=y$ 求导，利用链式法则即可得到这一公式。(jirka.org)

导数为零并不一定意味着函数不可逆。例如， $x^3$ 在 $\mathbb R$ 上是双射，但其反函数，即立方根函数，在零点没有有限的导数。因此，函数的可逆性与其反函数的可微性是不同的性质。(openstax.org)

多变量与局部求逆

反函数定理将局部求逆推广到多变量情形。若 $F:U\to\mathbb R^n$ 在开集 $U$ 上连续可微，且其雅可比矩阵 $DF(a)$ 可逆，则可在 $a$ 和 $F(a)$ 附近选取适当的邻域，使 $F$ 在这些邻域之间具有连续可微的反函数。其导数满足

D(F^{-1})(F(a))=[DF(a)]^{-1}.

对于方形雅可比矩阵，可逆等价于行列式非零。这是一个局部结论，本身并不能保证全局单射性。(jirilebl.github.io)

在线性代数中，特殊情形 $F(x)=Mx$ （其中 $M$ 为可逆方阵）具有全局反函数 $F^{-1}(y)=M^{-1}y$ 。此时，逆矩阵直接表示反函数，而雅可比矩阵是常矩阵 $M$ 。(jirilebl.github.io)