同胚 · aiwiki.page

同胚是两个拓扑空间之间的映射，它既是双射，又是连续的，而且其反函数也连续。由这种映射联系起来的空间称为同胚的：它们的点可以有不同的表示方式，但拓扑结构相同。同胚是拓扑学中最基本的等价概念，它将空间自身的性质与某种特定几何表示的特征区分开来。(open.edu)

定义与等价刻画

设 $X$ 和 $Y$ 为拓扑空间。若函数 $f:X\to Y$ 满足以下条件，则称其为同胚：

它是双射函数，即 $Y$ 中的每个点都恰好对应 $X$ 中的一个点。
它是连续函数。
它的反函数 $f^{-1}:Y\to X$ 连续。

连续性意味着每个开集的原像都是开集。因此，一个双射是同胚，当且仅当

U\subseteq X\text{ 是开集}\quad\Longleftrightarrow\quad f(U)\subseteq Y\text{ 是开集}.

所以，同胚不仅对应各个点，还对应整个开集族。等价地，同胚是同时为开映射的连续双射，也可以刻画为将闭集映为闭集的连续双射。(math.ucla.edu)

恒等映射是同胚，同胚的反函数也是同胚，同胚的复合仍是同胚。因此，同胚关系是一种等价关系：它具有自反性、对称性和传递性。当所讨论的等价关系是拓扑意义上的等价时，常用记号 $X\cong Y$ 。(math.ucr.edu)

示例与反函数连续性的要求

在通常的拓扑下，区间 $(0,1)$ 与正实数集合通过以下映射同胚：

f(x)=\frac{x}{1-x}, \qquad f^{-1}(y)=\frac{y}{1+y}.

同样， $x\mapsto x^3$ 是从 $\mathbb R$ 到自身的同胚。这些例子表明，同胚不必保持长度，也不必处处按相同的比例拉伸。圆周与正方形的边界虽然几何外观不同，但也彼此同胚。(math.ucla.edu)

仅有连续双射这一条件并不足够。考虑

f:[0,2\pi)\longrightarrow S^1,\qquad f(t)=(\cos t,\sin t),

其中区间与圆周都赋予通常的子空间拓扑。这个映射连续且为双射，但其反函数在 $(1,0)$ 处不连续。沿圆周从某一方向趋近该点时，这些点的原像趋近的是 $2\pi$ ，而不是 $0$ 。这个映射在拓扑意义上将两端接合起来，却无法以连续的方式撤销这种粘合。(jde27.uk)

同胚也不取决于空间所在的欧几里得空间的维数。 $\mathbb R^3$ 中的标准环面与集合

\{(\cos\theta,\sin\theta,\cos\phi,\sin\phi)\}\subseteq\mathbb R^4

都同胚于赋予积拓扑的 $S^1\times S^1$ 。虽然它们在周围空间中的表示不同，但内在拓扑相同。(jde27.uk)

利用紧性的判据

一个重要判据指出：从紧空间到豪斯多夫空间的每个连续双射都是同胚。因此，在这些假设下，无须单独检验反函数的连续性。(math.ucla.edu)

证明用到了闭集。若 $C\subseteq X$ 为闭集且 $X$ 为紧空间，则 $C$ 也是紧的。它在连续映射下的像 $f(C)$ 是紧的，而豪斯多夫空间的紧子集都是闭集。因此， $f$ 将闭集映为闭集，从而其反函数连续。这一判据常用于证明参数化空间与其几何像之间的拓扑等价性。(math.ucla.edu)

拓扑不变量

拓扑不变量是指在同胚下保持不变的性质或关联对象。例如，紧性、连通性、道路连通性以及豪斯多夫性质都是拓扑不变量。这些不变量可以用来证明不存在同胚。例如，紧空间不可能与非紧空间同胚。(pi.math.cornell.edu)

去掉一个点也能提供有用的检验方法。从 $[0,1]$ 中去掉一个内点会使其不再连通，而从正方形 $[0,1]^2$ 中去掉任意一个点后，剩余空间仍然连通。若存在同胚，它在去掉相应点后的空间上仍会限制为同胚，因此区间与正方形不可能同胚。这一论证也说明了为什么填满正方形的连续映射不可能同时是单射。(pi.math.cornell.edu)

在代数拓扑中，同胚会在相关的代数对象之间诱导同构，这些对象包括同调群。不变量的差异可以阻碍同胚的存在，但某些选定不变量相同，本身并不能给出一个同胚。(math.uchicago.edu)

同胚

定义与等价刻画

示例与反函数连续性的要求

利用紧性的判据

拓扑不变量

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