积拓扑 · aiwiki.page

积拓扑是拓扑空间的笛卡尔积上的标准拓扑。它是使每个坐标投影都成为连续函数的最粗拓扑，也就是开集最少的拓扑。当因子的个数为无穷时，其关键特征在于：每个基本开集只限制有限多个坐标，其余坐标均不受限制。这一构造使得映入积空间的映射的连续性，以及积空间中的收敛性，都等价于相应的逐坐标性质。(people.math.osu.edu)

定义与基本开集

设 $\{X_i\}_{i\in I}$ 是以集合 $I$ 为指标集的一族拓扑空间，记

X=\prod_{i\in I}X_i.

$X$ 中的点是元组 $x=(x_i)_{i\in I}$ ，其中 $x_i\in X_i$ 。坐标投影是如下函数：

\pi_i:X\longrightarrow X_i,\qquad \pi_i(x)=x_i.

积拓扑有一个基，由形如

\prod_{i\in I}U_i

的集合组成，其中每个 $U_i$ 都是 $X_i$ 中的开集，且除有限多个指标外，均有 $U_i=X_i$ 。积拓扑中的开集就是这些基本开集的任意并。等价地，集合 $\pi_i^{-1}(U_i)$ 构成一个子基：它们的有限交生成上述基。(math.ucla.edu)

因此， $x$ 的一个基本邻域，就是在有限多个因子中分别指定 $x_i$ 的开邻域。不同邻域可以限制不同的坐标；不一定存在一组固定的有限坐标来控制整个拓扑。对于有限积，有限性限制自动满足，因此通常的开矩形就构成一个基。特别地， $n$ 个实数轴的积具有欧几里得空间 $\mathbb R^n$ 的通常拓扑。(math.wustl.edu)

泛性质与连续性

积拓扑满足一个泛性质。给定拓扑空间 $Y$ 以及连续映射 $f_i:Y\to X_i$ ，存在唯一的连续映射

f:Y\longrightarrow X,\qquad f(y)=(f_i(y))_{i\in I},

使得对每个 $i$ 都有 $\pi_i\circ f=f_i$ 。因此，任意映射 $f:Y\to X$ 连续，当且仅当它的所有坐标函数都连续。用范畴论的语言来说，这意味着 $X$ 连同各个投影，是拓扑空间与连续映射所构成的范畴中各空间 $X_i$ 的积。(math.ucla.edu)

上述连续性判据的充分性成立，是因为基本开集的逆像是有限多个开集的交：

f^{-1}\!\left(\bigcap_{i\in F}\pi_i^{-1}(U_i)\right) =\bigcap_{i\in F}f_i^{-1}(U_i).

坐标投影也是开映射。这一判据针对的是映入积空间的映射；对于从积空间映出的映射，它并不提供类似的直接判据。(math.ucla.edu)

逐坐标收敛

一个网 $x_\alpha$ 在积拓扑中收敛到 $x$ ，当且仅当

\pi_i(x_\alpha)\longrightarrow x_i \quad\text{对每个 }i\in I.

必要性来自投影的连续性。对于充分性，基本邻域只施加有限多个条件，而逐坐标收敛保证这些条件最终能同时满足。对于序列，同样的等价关系也成立。(people.math.osu.edu)

如果每个因子都是同一个空间 $Z$ ，那么积 $Z^I$ 可以视为所有函数 $I\to Z$ 的集合。此时，积拓扑中的收敛就是逐点收敛，这也解释了它为何又称为逐点收敛拓扑。它要求在每个输入点处分别收敛，而不像一致收敛那样，要求对所有输入点的误差给出统一的界。(people.math.osu.edu)

与盒拓扑的比较

盒拓扑允许将任意开集的积 $\prod_i U_i$ 作为基本开集，而不要求除有限多个 $U_i$ 外其余都等于 $X_i$ 。因此，盒拓扑包含积拓扑。对于有限积，两者相同；对于无限积，两者则可能不同。例如，

\prod_{n=1}^{\infty}(-1/n,1/n)

在 $\mathbb R^{\mathbb N}$ 的盒拓扑中是开集，但在积拓扑中不是开集：零元组的任何积拓扑基本邻域都会留下某个坐标不受限制。(math.ucla.edu)

这种区别会影响连续性。从 $\mathbb R$ 映入积空间的对角映射 $t\mapsto(t,t,\ldots)$ 是连续的，因为它的每个坐标函数都连续。但若目标空间采用盒拓扑，该映射就不连续：上面所示盒子的逆像是 $\{0\}$ ，而它在 $\mathbb R$ 中不是开集。因此，允许对所有坐标同时施加限制，会使积拓扑的通用连续性判据失效。(legacy-www.math.harvard.edu)

紧性、连通性与实例

吉洪诺夫定理指出，任意一族紧空间的积在积拓扑下仍是紧空间。标准证明使用选择公理，例如通过亚历山大子基定理来证明。积也保持连通性：一族连通空间的积仍然连通。(math.ucla.edu)

两个典型例子是希尔伯特立方体 $[0,1]^{\mathbb N}$ ，以及 $\{0,1\}^{\mathbb N}$ ，其中每个两点因子都赋予离散拓扑。这两个空间都是紧的。后者与康托尔集同胚；它的基本邻域只指定有限多个二进制坐标的值。(legacy-www.math.harvard.edu)

可度量化性

可数多个度量空间 $(X_n,d_n)$ 的积是可度量化的。一个与积拓扑相容的度量是

d(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}\min\{1,d_n(x_n,y_n)\}.

可求和的权重使不受限制的尾部对距离的贡献一致地保持很小，而前面有限多个坐标则控制剩余部分的距离。(math.wustl.edu)

可数性至关重要：如果不可数多个度量空间中的每一个都至少含有两个点，那么它们的积就不是第一可数空间，因而不可度量化。可数个基本邻域合起来至多只能限制可数多个坐标，因此总能找到另一个坐标，并在该坐标上施加一个邻域条件，使这组基本邻域中的任何一个都无法包含于这个新邻域中。(math.wustl.edu)