拓扑空间

拓扑空间是一个点集，配备了称为“拓扑”的结构（见拓扑学），用以指定哪些子集是开集。这种结构使我们无须给点之间赋予数值距离，就能定义连续性和收敛性。拓扑空间是度量空间的推广：每个度量都确定一个拓扑，但有些拓扑无法由任何度量产生。借助这一区分，可以独立于长度、角度或其他定量测量来研究空间关系。(math.ucla.edu)

定义与公理

形式上，拓扑空间是一个二元组 $(X,\tau)$，其中 $X$ 是集合，$\tau$ 是由 $X$ 的子集组成的集合族。用集合论的术语来说，$\tau$ 是幂集 $\mathcal P(X)$ 的子集。它的成员称为开集，并且必须满足三条公理：

1. $\varnothing$ 和 $X$ 都属于 $\tau$。
2. $\tau$ 中任意一族成员的并都属于 $\tau$。
3. $\tau$ 中任意有限族成员的交都属于 $\tau$。

集合 $X$ 是底集，$\tau$ 则是其上的拓扑。同一个底集可以配备不同的拓扑，从而构成不同的拓扑空间。(pi.math.cornell.edu)

闭集是指在 $X$ 中的补集为开集的子集。因此，任意族闭集的交以及有限族闭集的并都是闭集。“开”与“闭”并不是互斥的分类：一个子集可以既开又闭，也可以既非开集又非闭集。特别地，$X$ 和 $\varnothing$ 总是既开又闭。(pi.math.cornell.edu)

例子与基

实数集上的通常拓扑由开区间的所有可能的并组成。更一般地，度量 $d$ 可以如下定义一个拓扑：若对每个 $x\in U$，都存在某个 $r>0$，使开球 $B_d(x,r)$ 包含于 $U$，则规定 $U$ 为开集。拓扑由某个度量诱导的空间称为可度量化空间。不同的度量可以诱导完全相同的拓扑。(math.ucla.edu)

每个集合上都有两种极端的例子。离散拓扑规定每个子集都是开集；平凡拓扑则只有 $\varnothing$ 和 $X$ 是开集。在至少包含两个点的集合上，这两种拓扑不同。另一个例子是在 $X=\{0,1\}$ 上定义

它满足拓扑公理，却以不对称的方式对待这两个点。(pi.math.cornell.edu)

基（拓扑学）是一个开集族，使得每个开集都能表示为该族中成员的并。开区间构成实数轴通常拓扑的一组基，开球则构成度量拓扑的一组基。基提供了一种简洁描述拓扑的方式：不必逐一列出所有开子集。(math.ucla.edu)

邻域、闭包与收敛

点 $x$ 的邻域（拓扑学）是包含某个含有 $x$ 的开集的集合；邻域本身不一定是开集。子集 $A$ 的内部是包含于 $A$ 的最大开集。它的闭包记为 $\overline A$，是包含 $A$ 的最小闭集。等价地，$x\in\overline A$ 当且仅当 $x$ 的每个开邻域都与 $A$ 相交。稠密集是闭包等于整个空间的子集。(math.ucla.edu)

如果 $x$ 的每个邻域都包含序列 $(x_n)$ 中从某一项起的所有项，就称该序列收敛于 $x$。这推广了熟悉的极限概念，但在任意拓扑空间中，序列并不能刻画所有拓扑现象。在第一可数空间中，每个点都有可数的局部邻域基，因此可以用序列刻画闭包和连续性；而一般的空间可能需要更广义的收敛工具。(math.ucla.edu)

连续性与等价性

拓扑空间之间的函数 $f:X\to Y$ 是连续函数，如果

对于度量空间，这与通常的 epsilon–delta（$\varepsilon$–$\delta$）定义一致。这个定义使用的是原像：连续函数不一定把开集映为开集。(math.ucla.edu)

同胚是一个连续的双射函数，并且其逆函数也连续。同胚的空间在拓扑意义上是等价的，即使它们的几何度量有所不同。仅仅是连续双射还不足以成为同胚；不过，从紧空间到豪斯多夫空间的连续双射必定是同胚。(math.ucla.edu)

构造新空间

有几种构造可以为相关的集合赋予自然的拓扑：

• 子空间拓扑： 对于 $A\subseteq X$，$A$ 中的开子集是形如 $A\cap U$ 的交集，其中 $U$ 是 $X$ 中的开集。因此，开集这一性质是相对于所在空间而言的。
• 积拓扑： 为笛卡尔积 $\prod_i X_i$ 赋予使所有坐标投影都连续的最粗拓扑。基本开集只对有限多个坐标施加限制。
• 商空间（拓扑学）： $X$ 上的一个等价关系产生集合 $X/{\sim}$。商拓扑规定，这个商集的子集 $V$ 是开集，当且仅当它在典范投影下的原像是 $X$ 中的开集。

这些构造分别描述了取子集、组合空间以及将点等同的过程。(math.mit.edu)

分离性、紧致性与连通性

豪斯多夫空间是指任意两个不同的点都有互不相交的开邻域的空间。每个度量空间都是豪斯多夫空间。在豪斯多夫空间中，收敛序列的极限唯一，紧子集都是闭集。这些结论在任意拓扑空间中不一定成立。(math.mit.edu)

紧空间是指每个开覆盖都有有限子覆盖的空间。紧致性并不是用有界性定义的：紧致与闭且有界的等价关系适用于有限维欧几里得空间的子集，而不适用于所有拓扑空间。(math.ucla.edu)

连通空间不能表示为两个互不相交的非空开子集的并。道路连通性要求任意两点都能由一条连续道路连接，是比连通性更强的性质。连续映射的像保留紧致性和连通性，因此这些性质可用于区分不可能同胚的空间。(math.ucla.edu)