开集

开集是 拓扑空间中属于其指定的开子集族的子集。在配备了距离的空间中，如果集合内的每一点都有一个以该点为中心、足够小且完全包含在集合内的球，那么这个集合就是开集。这一概念推广了实数轴上开区间的性质。开集是 拓扑学的基础：它使我们无需借助数值意义上的距离，就能定义连续性、邻域和紧致性。一个子集是否为开集，取决于所选的拓扑及其所在的空间，而不仅仅取决于子集本身。(math.toronto.edu)

拓扑空间中的定义

集合 $X$ 上的拓扑是由 $X$ 的子集组成的集合族 $\tau$，它满足以下三条 公理：

1. 空集 $\varnothing$ 和 $X$ 都属于 $\tau$。
2. $\tau$ 中任意一族成员的并集属于 $\tau$。
3. $\tau$ 中任意有限族成员的交集属于 $\tau$。

有序对 $(X,\tau)$ 称为拓扑空间，而 $U\subseteq X$ 是开集当且仅当 $U\in\tau$。“任意并”包括以无限集为指标集的并；相比之下，对交集的要求仅限于有限族。(math.toronto.edu)

拓扑基通过一族基本开集来描述拓扑，所有开集都可以表示为这些基本开集的并。等价地，$U$ 是开集，当且仅当每个 $x\in U$ 都属于某个包含在 $U$ 中的基本开集。在赋予通常拓扑的实数轴上，开区间构成一个拓扑基。拓扑基不必包含所有开集，但它能确定整个拓扑。(math.toronto.edu)

度量刻画

在 度量空间 $(X,d)$ 中，以 $x$ 为中心、半径为 $r>0$ 的 开球定义为

子集 $U\subseteq X$ 在度量拓扑中是开集，当且仅当

半径可以随所选的点而变化，并不要求同一个半径适用于集合中的所有点。由 三角不等式可知，每个开球都是开集。因此，开集恰好就是开球的并集。(jirilebl.github.io)

对于配备距离 $d(x,y)=|x-y|$ 的 实数，当 $a<b$ 时，区间 $(a,b)$ 是开集：对任意 $x\in(a,b)$，取 $0<r<\min(x-a,b-x)$ 即可。区间 $[a,b)$ 在 $\mathbb R$ 中不是开集，因为每个以 $a$ 为中心的球都包含小于 $a$ 的点。形如 $(a,\infty)$ 的开射线也是开集，因此开集不一定有界。(jirka.org)

在 $\mathbb R^n$ 中，同样的定义采用 欧几里得距离。平面上的开圆盘和更高维空间中的开球，提供了相应的局部周围区域。(jirilebl.github.io)

集合运算与相关概念

无限多个开集的交集不一定是开集。例如，在实数的通常拓扑中，

而单点集 $\{0\}$ 不包含任何以其唯一一点为中心的开球。不过，开集的有限交和任意并始终是开集。(jirka.org)

闭集是补集为开集的子集。开与闭并不是互斥的分类：空集和整个空间既是开集，也是闭集。同时具备这两种性质的集合称为 开闭集。一个子集也可能既不是开集，也不是闭集，例如通常实数拓扑中的 $[0,1)$。(jirka.org)

$x$ 的 邻域通常定义为包含某个含有 $x$ 的开集的集合；按照这一约定，邻域本身不一定是开集。$A$ 的 内部记为 $\operatorname{Int}(A)$，是所有包含在 $A$ 中的开子集的并。因此，$A$ 是开集当且仅当 $A=\operatorname{Int}(A)$。在度量空间中，这意味着 $A$ 中的每一点都有一个以该点为中心且包含在 $A$ 内的球。(jirilebl.github.io)

相对开性

对于 $Y\subseteq X$，子空间拓扑由形如

的集合组成，其中 $V$ 是 $X$ 中的开集。这样的集合称为在 $Y$ 中是开的，或称为相对开集。它不一定是较大空间中的开集。(math.utoronto.ca)

例如，$[0,\tfrac12)$ 在 $Y=[0,1]$ 中是开集，因为它等于 $Y\cap(-1,\tfrac12)$，但它在 $\mathbb R$ 中不是开集。同样，一个圆周在继承平面拓扑后具有相对开的圆弧，尽管这些圆弧并不是平面的开子集。子空间的基本开集可以通过将子空间与其所在空间的基本开集取交集而得到。(math.utoronto.ca)

连续性、紧致性与可测性

函数 $f:X\to Y$ 是 连续函数，当且仅当对每个开集 $V\subseteq Y$，其原像 $f^{-1}(V)$ 都是 $X$ 中的开集。同胚是自身及其逆映射均连续的双射；因此，它在两个方向上都将开集映为开集。(math.toronto.edu)

开覆盖是一族开集，其并集包含所考察的空间。紧空间是每个开覆盖都有有限子覆盖的空间。这些定义使用开集而非距离，因此适用于一般的拓扑空间。(math.toronto.edu)

在 测度论中，开集生成 博雷尔σ代数，即包含所有开集的最小 σ代数。因此，每个开集都是博雷尔可测的；博雷尔集还包括闭集，以及通过可数并、可数交和取补集得到的集合。(math.toronto.edu)