矩阵相似

矩阵相似是线性代数中两个方矩阵之间的一种关系：它们在可能不同的坐标系中表示同一个线性映射。对于域（数学） $F$ 上的矩阵 $A,B\in F^{n\times n}$，若存在可逆矩阵 $P\in F^{n\times n}$，使得

则称 $A$ 与 $B$ 相似。这一操作称为相似变换。它改变的是算子的矩阵表示，而不是算子本身。(pressbooks.cuny.edu)

定义与基变换

设 $T:V\to V$ 是有限维向量空间上的线性算子，$\mathcal E$ 和 $\mathcal F$ 是两组有序基（线性代数）。假设 $A$ 是 $T$ 在基 $\mathcal E$ 下的矩阵表示，且 $P$ 的各列是基 $\mathcal F$ 中各个基向量在基 $\mathcal E$ 下的坐标，则

作用算子 $T$，再将结果的坐标转换回基 $\mathcal F$，可得

因此，$B=P^{-1}AP$ 是 $T$ 在基 $\mathcal F$ 下的矩阵表示。反过来，任何可逆矩阵 $P$ 都定义了这样一个基变换。(pressbooks.cuny.edu)

相似关系是一种等价关系，具有自反性、对称性和传递性。自反性可由单位矩阵得到；对称性可由变换矩阵的逆矩阵得到。若 $B=P^{-1}AP$，且 $C=Q^{-1}BQ$，则

因此，在给定域上，阶数相同的方阵可划分为若干相似等价类。(pressbooks.cuny.edu)

保持不变的性质

相似矩阵具有相同的特征多项式，因为

所以

因此，它们具有相同的特征值与特征向量中的特征值及其代数重数，也具有相同的行列式和矩阵的迹。它们的矩阵的秩也相同，因为左乘或右乘可逆矩阵不会改变秩。(ocw.mit.edu)

更一般地，对于任意多项式 $p$，都有

由此可知，$p(A)=0$ 当且仅当 $p(B)=0$，所以相似矩阵具有相同的最小多项式，即使该矩阵代入后得到零矩阵的次数最低的首一多项式。(math.uci.edu)

特征向量本身的坐标不一定相同。由 $Av=\lambda v$ 可得

因此，对应的特征空间具有相同的维数。同样的计算也适用于 $(A-\lambda I)^k$，从而保持其零空间的维数不变，进而保持每个特征值所对应的广义特征向量结构。(ocw.mit.edu)

示例与谱判别的局限

作为一个简单的例子，取

直接相乘可得

这两个矩阵看起来不同，但上述计算明确表明它们相似。这也说明，非对角元素不是相似不变量。(sites.wcsu.edu)

反过来，特征值相同并不足以判定矩阵相似。考虑

两者的特征多项式都是 $(t-1)^2$，行列式均为 $1$，迹均为 $2$，秩均为 $2$。然而，它们并不相似，因为对任意可逆矩阵 $P$，都有 $P^{-1}I_2P=I_2$。它们的最小多项式也不同，分别为 $t-1$ 和 $(t-1)^2$。因此，这些常用不变量只能提供必要条件，不能给出完整的分类。(ocw.mit.edu)

对角化与标准形

矩阵对角化是相似变换的一个特例。一个矩阵在 $F$ 上可对角化，当且仅当存在一组由特征向量组成的基，且这些向量的坐标属于 $F$。若以这些向量作为 $P$ 的列，则 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵。同一域上的两个可对角化矩阵相似，当且仅当它们的特征值及相应重数相同。(ocw.mit.edu)

当特征多项式可以分解为一次因子的乘积时，例如在复数域上，每个方阵都相似于一个若尔当标准形。其中的各个块记录了特征值和广义特征向量链。两个这样的矩阵相似，当且仅当它们的若尔当块除排列顺序外完全相同。矩阵可对角化，对应于所有块的大小均为一。(pmelvin.blogs.brynmawr.edu)

在任意域上，有理标准形都能给出完整的分类，而无须要求特征值属于该域。其不变因子多项式确定了唯一的标准代表，两个矩阵相似，当且仅当它们的标准代表相同。(pmelvin.blogs.brynmawr.edu)

相似性判定与数值计算

定义相似关系的等式可以改写为

对于给定的 $A$ 和 $B$，这是以 $P$ 的各个元素为未知量的齐次线性方程组。两个矩阵相似，当且仅当该方程组的解空间中包含可逆矩阵。仅有非零解并不足够，因为该解可能是奇异矩阵。标准形则提供了另一种精确判定方法。(sites.wcsu.edu)

在数值线性代数中，舒尔分解采用受到特定限制的相似变换。复矩阵可表示为 $A=QTQ^*$，其中 $Q$ 是酉矩阵，$T$ 是上三角矩阵，$Q^*$ 表示共轭转置。对于实矩阵，$Q$ 可以取为正交矩阵，而 $T$ 是分块上三角矩阵，其对角块的大小为一或二。这些形式在保持原有特征值的同时，为实际的特征值计算提供了支持。(netlib.org)