矩阵对角化是线性代数中的一种方法，将方矩阵表示为 [ A=PDP^{-1}, ] 其中 (P) 可逆，(D) 是对角矩阵，即所有非对角元均为零。等价地，(P^{-1}AP=D)。(P) 的各列是 (A) 的特征向量，而 (D) 中对应的对角元是这些向量的特征值。能够作如此表示的矩阵称为可对角化矩阵。这一方法通过选取合适的坐标，将可能相互耦合的变换化为彼此独立的数乘。(math.purdue.edu)
定义与几何意义
设 (A) 是域（数学） (F) 上的一个 (n\times n) 矩阵。在 (F) 上可对角化，要求 (P) 和 (D) 的元素都属于 (F)。定义中的等式等价于 [ AP=PD. ] 令 (P=[v_1\ \cdots\ v_n])，(D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n))，便得到每一列都满足 (Av_i=\lambda_i v_i)。由于 (P) 可逆，这些向量构成 (F^n) 的一组基。(people.math.osu.edu)
从几何角度看，有限维向量空间上的线性映射可对角化，是指它有一组完全由特征向量组成的基。若 (x=Py)，则 (Ax=PDy)：在特征向量坐标 (y) 下，每个坐标都乘以对应的特征值。这是一种相似变换，只是用另一组基表示同一个映射，而非改变映射本身。(math.purdue.edu)
可对角化的判据
核心判据是：(A) 必须有 (n) 个线性无关的特征向量。对于特征值 (\lambda)，其特征空间为 [ E_\lambda=\ker(A-\lambda I), ] 其中 (I) 表示单位矩阵，核就是零空间。这一空间的维数称为该特征值的几何重数。该特征值的代数重数则是它作为特征多项式 [ \chi_A(t)=\det(tI-A) ] 的根的重数。几何重数不会超过代数重数。(ximera.osu.edu)
矩阵在 (F) 上可对角化，当且仅当其特征多项式在 (F) 上能够分解为一次因子的乘积，且每个特征值的几何重数都等于代数重数。因此，在 (F) 中有 (n) 个互异的特征值，便能保证矩阵可对角化；但特征值互异并非必要条件：单位矩阵只有一个特征值，却本身就是对角矩阵。另一方面，仅有可逆性并不能保证矩阵可对角化。(textbooks.math.gatech.edu)
所选的域至关重要。例如， [ R=\begin{pmatrix}0&-1\1&0\end{pmatrix} ] 的特征值为 (i) 和 (-i)。因此，它在复数域上可对角化，但在实数域上不可对角化，因为它没有实特征向量。然而，即便在复数域上，矩阵也可能没有足够多的线性无关特征向量。(people.math.osu.edu)
构造方法与示例
在精确运算中，可以先求出 (\chi_A(t)) 的根，再针对每个特征值求解 ((A-\lambda I)v=0)，最后从所得的特征向量中选出一组基，从而构造对角化。这些齐次线性方程组可以用高斯消元法求解。选出的向量依次构成 (P) 的各列，其特征值按相同顺序填入 (D) 的对角线。如果总共能选出的线性无关特征向量少于 (n) 个，就无法对角化。(textbooks.math.gatech.edu)
下面是一个可以直接验证的例子： [ A=\begin{pmatrix}2&1\0&3\end{pmatrix},\qquad P=\begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}2&0\0&3\end{pmatrix}. ] 列向量 ((1,0)^T) 和 ((1,1)^T) 对应的特征值分别为 (2) 和 (3)，通过矩阵乘法即可验证 (AP=PD)。
相比之下， [ J=\begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix} ] 的特征多项式是 ((t-1)^2)，但其特征空间仅由形如 ((a,0)^T) 的向量组成。它的几何重数为一，而非二，因此不可对角化。没有特征向量基的矩阵称为亏损矩阵。(textbooks.math.gatech.edu)
正交对角化与酉对角化
对于一些重要的矩阵类别，谱定理给出了更强的结论。每个实对称矩阵都有一组由特征向量组成的标准正交基，并且可以写成 [ A=QDQ^T, ] 其中 (Q) 是正交矩阵，(D) 是实对角矩阵。因此，(Q) 的转置 (Q^T) 就是它的逆矩阵。(ocw.mit.edu)
在复数域上，矩阵能够通过酉矩阵对角化，当且仅当它是正规矩阵，即满足 (A^A=AA^)，其中 (A^) 是共轭转置。此时 (A=UDU^)。满足 (A=A^*) 的厄米矩阵是正规矩阵，且其特征值均为实数。一般的可对角化条件较弱，并不要求特征向量相互正交。(ocw.mit.edu)
应用与数值计算中的注意事项
对角化可以简化矩阵的重复相乘： [ A^k=PD^kP^{-1},\qquad D^k=\operatorname{diag}(\lambda_1^k,\ldots,\lambda_n^k), ] 其中 (k) 为非负整数。这将矩阵的幂运算转化为标量的幂运算。(textbooks.math.gatech.edu)
它也可以简化矩阵指数： [ e^{tA}=P\operatorname{diag}(e^{t\lambda_1},\ldots,e^{t\lambda_n})P^{-1}. ] 对于常系数微分方程 (x'(t)=Ax(t))，作变量替换 (x=Py)，即可得到彼此独立的方程 (y_i'=\lambda_i y_i)。(webhome.auburn.edu) 在主成分分析中，对协方差矩阵进行对角化，可以找出数据变异的各个正交方向；其特征值给出相应方向上的方差。(cs357.cs.illinois.edu)
在数值线性代数中，理论上可对角化并不意味着计算结果一定可靠。近乎线性相关的特征向量可能使 (P) 成为病态矩阵，从而增加计算对扰动的敏感性。通用特征值求解程序通常先利用酉变换或正交变换计算舒尔分解，再在需要时求出特征向量。与对角化不同，每个复方阵都存在复舒尔分解，其中的因子是上三角矩阵，而不一定是对角矩阵。(netlib.org)