条件数用于量化数学问题的输出对输入微小扰动的敏感程度。它衡量的是输入误差可能被放大的程度，而不是某种具体计算方法所引入的误差。条件数较小的问题称为良态问题，条件数较大的问题称为病态问题。这一概念在数值线性代数和敏感性分析中具有核心地位，它将数据的不确定性与计算结果的不确定性联系起来。条件数的值取决于问题本身、输入以及衡量扰动的方式。(nhigham.com)
一般定义
设一个问题由有限维赋范向量空间之间的函数 (f) 表示。当 (x) 和 (f(x)) 均非零时，其局部相对条件数可定义为
[ \kappa_{\mathrm{rel}}(f,x)= \lim_{\varepsilon\downarrow0} \sup_{0<|\Delta x|\leq\varepsilon|x|} \frac{|f(x+\Delta x)-f(x)|/|f(x)|} {|\Delta x|/|x|}. ]
扰动后的输入必须仍在允许的输入范围内。上确界表示所有允许方向上的最坏情况敏感程度，而极限则使这一定义具有局部性。若 (f) 可微，则
[ \kappa_{\mathrm{rel}}(f,x) =\frac{|Df(x)|,|x|}{|f(x)|}, ]
其中，导数的范数是诱导算子范数。在多变量情形下，导数由雅可比矩阵表示。(nhigham.com)
对于标量函数，上式化为 (\left|xf'(x)/f(x)\right|)。例如，在输入和输出均非零的适当定义域上，(f(x)=x^p) 的相对条件数为 (|p|)。绝对条件数则比较输出的绝对变化与输入的绝对变化；在函数可微时，其表达式为 (|Df(x)|)。当输入或输出为零时，相对归一化可能没有定义，此时需要采用绝对或混合形式。(nhigham.com)
矩阵条件数
对于可逆方矩阵 (A)，标准的基于范数的矩阵条件数为
[ \kappa(A)=|A|,|A^{-1}|, ]
其中 (A^{-1}) 是其逆矩阵。这一量衡量矩阵求逆和线性方程组求解中的敏感程度。不同的范数给出不同的条件数，通常记为 (\kappa_1)、(\kappa_2) 和 (\kappa_\infty)。(netlib.org)
在欧几里得算子范数下，由奇异值分解可得
[ \kappa_2(A)= \frac{\sigma_{\max}(A)}{\sigma_{\min}(A)}. ]
从几何上看，这一比值比较了 (A) 对向量的最大和最小伸缩程度。最小奇异值很小，意味着存在一个方向，矩阵在该方向上产生强烈压缩，而求逆则在该方向上产生强烈放大。通常约定奇异方阵的条件数为无穷大。(cs.cornell.edu)
由该公式可知，(\kappa_2(A)\geq1)，矩阵乘以非零标量后条件数不变，而正交矩阵的条件数为 1。例如，根据该公式，
[ A=\begin{pmatrix}1&0\0&10^{-8}\end{pmatrix} ]
的条件数为 (\kappa_2(A)=10^8)。将所有元素按相同比例缩放，不会改变这一比值：相对条件数关注的是不同方向上伸缩程度的不均衡，而不只是矩阵元素的数值是否很小。(cs.cornell.edu)
线性方程组与扰动界
考虑线性方程组 (Ax=b)，其中 (A) 可逆且 (b\neq0)。若只有右端项发生变化，则
[ A(x+\Delta x)=b+\Delta b, \qquad \Delta x=A^{-1}\Delta b. ]
因此，
[ \frac{|\Delta x|}{|x|} \leq \kappa(A)\frac{|\Delta b|}{|b|}. ]
这是最坏情况下的界，并不意味着每个扰动都会被放大到这一程度。对于固定的 (b)，映射 (b\mapsto A^{-1}b) 的精确相对条件数为 (|A^{-1}||b|/|x|)，它可能小于 (\kappa(A))。(cs.cornell.edu)
系数矩阵中的扰动也很重要。对这类扰动的分析取决于误差是按范数还是按分量衡量，以及允许变化的是 (A)、(b)，还是二者。因此，基于范数的条件数无法完整描述所有可能的不确定性模型。当数据各元素的数量级相差很大时，按分量给出的界能更好地反映这种数据的特点。(netlib.org)
问题的条件性与数值稳定性
条件性是数学问题的性质；数值稳定性则是算法的性质。前向误差衡量计算结果与精确结果之间的差异。后向误差衡量需要将输入改变多少，才能使计算结果成为精确结果。后向稳定的方法所产生的结果，是某个邻近问题的精确解。(cs.cornell.edu)
当误差较小时，核心关系可概括为
[ \text{相对前向误差} \lesssim \text{条件数}\times \text{相对后向误差}. ]
因此，即使计算过程是后向稳定的，在求解病态问题时仍可能产生很大的前向误差。在浮点运算中，舍入会带来后向误差，而问题的条件性决定了这种误差可能被放大到何种程度。这是两种不同的影响，需要分别分析。(cs.cornell.edu)
对于计算得到的解 (\widehat{x})，残差 (r=b-A\widehat{x}) 衡量它未能满足方程的程度。仅有小残差并不能保证解的误差也小：要将残差信息转化为前向误差界，还需要有关条件性的信息。(netlib.org)
最小二乘与估计
对于满列秩的矩形矩阵，即矩阵的秩等于其列数的情形，相应的量为
[ \kappa_2(A)=|A|_2|A^\dagger|_2, ]
其中 (A^\dagger) 是摩尔—彭罗斯伪逆。在普通最小二乘法问题中，列向量若接近失去线性无关性，就可能使拟合系数对扰动高度敏感。不过，敏感程度还取决于残差以及 (b) 相对于矩阵列空间的位置；仅靠矩阵条件数无法完整描述这一情况。正则化通过改变拟合问题，对原本难以确定的解施加约束。(cs.cornell.edu)
实践中常采用条件数估计，而不是显式计算逆矩阵。LAPACK 的误差估计例程通常返回 RCOND，即条件数倒数的估计值。当问题极度病态时，使用倒数可以避免溢出；接近零的值表明，在所选范数下估计的敏感程度很高。(netlib.org)