零测集

在测度论中，零测集是指测度为零的可测集。对于勒贝格测度，这意味着集合在实数轴上的长度为零、在平面上的面积为零，或在更高维空间中的体积为零。一个集合是否为零测集，取决于所采用的测度：它相对于一种测度可能是零测集，相对于另一种测度则未必。与空集不同，零测集可以包含无穷多个点。这一概念是积分论和概率论中处理例外集合的基础。(math.ucdavis.edu)

定义与基本性质

设 $(X,\Sigma,\mu)$ 为测度空间，其中 $\Sigma$ 是由 $X$ 的可测子集组成的σ代数。如果集合 $N\in\Sigma$ 满足

则称 $N$ 为相对于 $\mu$ 的零测集。 空集总是零测集。根据测度的单调性，零测集的每个可测子集也都是零测集。此外，可测零测集的可数并仍是零测集，因为由可数次可加性可得

这里不需要假定各集合互不相交。(math.ucdavis.edu)

将并集限定为可数并至关重要。实数轴上的每个单点集的勒贝格测度都为零，但它们的不可数并却是整条实数轴。在其他测度空间中，甚至单点集也未必是零测集：在计数测度下，每个单点集的测度均为一，因此只有空集是零测集。所以，这里的“小”是指相对于所选测度而言可忽略不计，并不一定意味着基数小。(math.ucdavis.edu)

勒贝格零测集与覆盖

对于欧几里得空间 $\mathbb R^n$ 的子集 $N$，其是否为勒贝格零测集可以用几何方式刻画：对任意 $\varepsilon>0$，都存在可数个矩形 $R_k$，使得

也就是说，可以用总体积任意小的矩形覆盖这个集合。这并不要求集合本身有界，也不要求它具有简单的形状。这一判据表明该集合的勒贝格外测度为零；所有这样的集合都是勒贝格可测的。(math.ucdavis.edu)

每个由实数组成的可数集都是零测集。将集合列为 $N=\{x_1,x_2,\ldots\}$，并用长度为 $\varepsilon 2^{-k-1}$ 的区间覆盖 $x_k$，这些区间的总长度就小于 $\varepsilon$。特别地，有理数集是零测集，尽管它在实数轴上是稠密集。因此，稠密性并不意味着测度为正。(math.ucdavis.edu)

标准的三分康托尔集是不可数的零测集。经过 $k$ 次构造后，它包含在 $2^k$ 个区间的并集中，每个区间的长度均为 $3^{-k}$。这些区间的总长度为 $(2/3)^k$，趋于零。这个例子说明，测度为零与可数性是不同的概念。同样，平面上的一条线段，其二维勒贝格测度为零，尽管沿线段测量时它的长度为正。(maths-people.anu.edu.au)

完备性与可测性

如果每个可测零测集的任意子集都是可测的，就称该测度空间是完备的。在不完备的空间中，零测集的某个子集可能不属于所给的σ代数；此时它的测度没有定义，而不是自动为零。有些作者在更宽泛的意义上使用“零测集”，将包含于可测零测度集合中的子集也称为零测集，因此需要留意所采用的约定。(math.ucdavis.edu)

定义在博雷尔σ代数上的勒贝格测度并不完备：康托尔集本身是博雷尔集且测度为零，但它有些子集不是博雷尔集。将这一测度完备化，会加入所有博雷尔零测集的子集，从而得到勒贝格σ代数。这也解释了为什么博雷尔可测性与勒贝格可测性并不相同。(math.ucdavis.edu)

几乎处处相等与积分

如果某个性质不成立的点全部包含在一个零测集中，就称该性质几乎处处成立。如果两个可测函数 $f$ 和 $g$ 在某个零测集之外取值相同，就称它们几乎处处相等。对于勒贝格测度，在零测集上任意修改可测函数的值，所得函数仍然可测。在一般情形下，这一结论要求测度空间具有完备性。(ocw.mit.edu)

零测集对勒贝格积分没有贡献。对于可测集 $N$，有

其中 $\mathbf 1_N$ 是 $N$ 的示性函数。因此，几乎处处相等的可测函数，只要积分有定义，其积分就相同。在Lp空间中，函数按照几乎处处相等的关系归入等价类，而不会仅仅因为它们在零测集上的逐点取值不同，就将其视为不同的元素。(ocw.mit.edu)

概率论中的零概率事件

在概率空间 $(\Omega,\mathcal F,P)$ 中，如果可测事件 $A$ 满足 $P(A)=0$，就称其为零概率事件。如果某个性质不成立的例外事件是零概率事件，就称该性质几乎必然成立。这是“几乎处处成立”在概率论中的对应概念。(statlect.com)

概率为零并不意味着事件为空。对于服从 $[0,1]$ 上均匀分布的随机变量 $U$，每个事件 $\{U=a\}$（其中 $a\in[0,1]$）的概率都为零，尽管这些事件合起来覆盖了所有可能的结果。概率测度具有可数可加性，而不是任意可加性；不能对不可数多个单点事件的概率求和，并认为通常的可数可加性规则仍然适用。(statlect.com)