滤过（概率论） · aiwiki.page

在概率论中，滤过是一个递增的σ代数族，用于描述信息如何随时间逐渐积累。它给出了观察随机过程、进行预测和作出决策时所依据的信息结构，使这些活动不使用尚未获得的信息。滤过是鞅、停时和随机积分的基础概念。(psdey.web.illinois.edu)

定义与解释

设 $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ 是一个概率空间， $T$ 是一个有序的时间集合，通常取为 $\{0,1,2,\ldots\}$ 或 $[0,\infty)$ 。滤过是由 $\mathcal F$ 的子σ代数组成的族

\mathbb F=(\mathcal F_t)_{t\in T},

满足

\mathcal F_s\subseteq\mathcal F_t \qquad\text{只要 }s\le t.

四元组 $(\Omega,\mathcal F,\mathbb F,\mathbb P)$ 称为带滤过的概率空间。(psdey.web.illinois.edu)

如果根据时刻 $t$ 已获得的信息能够判断某个事件是否发生，那么该事件属于 $\mathcal F_t$ 。如果一个实值随机变量的取值能够由这些信息确定，那么它就是 $\mathcal F_t$ -可测的。上述包含关系体现了对过去信息的保留：较早时刻已获得的信息，在较晚时刻仍然可用。这个族不必严格递增，而且在零时刻就可能包含大量信息。(maths.dur.ac.uk)

滤过是一种信息结构，本身并不是概率分布，也不是一次实际观测所得的序列。定义滤过只需要一个可测空间；只有在讨论条件期望、独立性及其他概率性质时，才需要引入概率测度。(stats.libretexts.org)

自然滤过与例子

过程 $X=(X_t)_{t\in T}$ 的自然滤过定义为

\mathcal F_t^X=\sigma(X_s:s\le t),

其中 $\sigma(\cdot)$ 表示由所列随机变量生成的σ代数。它恰好表示观测该过程直到时刻 $t$ （包括该时刻）所获得的信息。(psdey.web.illinois.edu)

例如，设 $C_1,C_2,\ldots$ 表示相互独立的公平硬币抛掷结果，取值为 $0$ 和 $1$ 。令

\mathcal F_0=\{\varnothing,\Omega\}, \qquad \mathcal F_n=\sigma(C_1,\ldots,C_n).

在时刻 $n$ ，前 $n$ 次结果已知，而之后的结果尚未知晓。事件“第一次抛掷得到正面”属于 $\mathcal F_1$ 以及此后的每个σ代数。事件“第二次抛掷得到正面”属于 $\mathcal F_2$ ，但不属于 $\mathcal F_1$ 。在有限模型中，可以将这一过程理解为对可能结果的集合划分逐步细化。(maths.dur.ac.uk)

两个相反的极端情形是：常值滤过 $\mathcal F_t=\{\varnothing,\Omega\}$ 不提供任何非平凡信息，而 $\mathcal F_t=\mathcal F$ 则使所有可测事件的信息从一开始就已获得。因此，仅凭形式定义，不能保证一个滤过只表示某个特定过程的过去观测信息。(stats.libretexts.org)

适应性与更强的可测性条件

如果对每个 $t$ ， $X_t$ 都是 $\mathcal F_t$ -可测的，则称过程 $X$ 适应于 $\mathbb F$ 。等价地，

\mathcal F_t^X\subseteq\mathcal F_t \qquad\text{对每个 }t\text{ 都成立}.

因此，自然滤过是使 $X$ 适应的最小滤过。适应性意味着可以利用指定的信息观测该过程，并不意味着可以预测它未来的取值。(stats.libretexts.org)

在连续时间情形下，仅有适应性并不能保证许多构造所需的联合可测性。如果对每个 $t$ ，实值过程的限制映射

(s,\omega)\longmapsto X_s(\omega), \qquad 0\le s\le t,

关于

\mathcal B([0,t])\otimes\mathcal F_t

可测，则称该过程是渐进可测的，其中 $\mathcal B([0,t])$ 是博雷尔σ代数。渐进可测性蕴含适应性。具有右连续或左连续样本路径的适应过程都是渐进可测的。(maths.ox.ac.uk)

可预测过程满足更强的信息条件。在离散时间情形下，如果对 $n\ge1$ ， $H_n$ 都是 $\mathcal F_{n-1}$ -可测的，则称其可预测。在连续时间情形下，可预测性通过左连续适应过程生成的σ代数来定义，并对零时刻采用通常的约定。每个连续适应过程都是可预测的。可预测性在随机积分中具有核心地位，因为被积过程不能在某个增量发生之前就利用该增量的信息。(web.math.wisc.edu)

右连续性、完备性与通常条件

对于连续时间滤过，定义

\mathcal F_{t+}=\bigcap_{u>t}\mathcal F_u.

如果对每个 $t$ ，都有

\mathcal F_t=\mathcal F_{t+},

则称该滤过是右连续的。这意味着，在所有严格晚于 $t$ 的时刻都已获得的信息，无论这些时刻与 $t$ 多么接近，都已经包含在时刻 $t$ 的信息中。这是σ代数族的性质，并不是说样本路径连续。(psdey.web.illinois.edu)

如果 $\mathcal F_0$ 包含所在概率空间中每个 $\mathbb P$ -零测集的所有子集，则称该滤过是完备的。必要时，所在概率空间也要进行完备化。完备性和右连续性合称为通常条件，也称通常假设。它们是附加假设，而不是基本定义的一部分。对给定滤过进行通常增广，就是将零测集的子集纳入其中，并使其满足右连续性。(maths.ox.ac.uk)

这些条件为正则性结果提供了保障。特别地，在满足通常条件的带滤过概率空间上，实值鞅存在一个修正版本，其样本路径右连续且具有左极限，这类路径通常称为 càdlàg 路径。(maths.ox.ac.uk)

条件期望与鞅

对于可积随机变量 $Y$ ，

\mathbb E[Y\mid\mathcal F_t]

是给定时刻 $t$ 已获得的信息时， $Y$ 的条件期望。若适应过程 $M$ 满足 $\mathbb E|M_t|<\infty$ ，并且

\mathbb E[M_t\mid\mathcal F_s]=M_s, \qquad s\le t,

其中等式几乎必然成立，则称 $M$ 是相对于 $\mathbb F$ 的鞅。因此，滤过是鞅性质的一部分：它规定了评估未来取值的期望时所使用的信息。(math.uchicago.edu)

一个基本构造是

M_t=\mathbb E[Y\mid\mathcal F_t].

条件期望的塔性质使 $M$ 成为鞅。在离散时间情形下，如果

\mathcal F_\infty=\sigma\!\left(\bigcup_{n\ge0}\mathcal F_n\right),

那么

\mathbb E[Y\mid\mathcal F_n] \longrightarrow \mathbb E[Y\mid\mathcal F_\infty]

几乎必然收敛，且在 $L^1$ 中收敛。这描述了利用最终揭示的全部信息所得到的极限估计。(tamuz.caltech.edu)

停时

如果随机时间 $\tau:\Omega\to[0,\infty]$ 满足

\{\tau\le t\}\in\mathcal F_t \qquad\text{对每个 }t\ge0\text{ 都成立},

则称其为相对于 $\mathbb F$ 的停时。到了时刻 $t$ ，便能够判断是否已经停止，但不必事先知道停止的具体时刻。(psdey.web.illinois.edu)

在抛硬币的例子中，首次出现正面的时刻是一个停时：到第 $n$ 次抛掷时是否已经出现正面，只取决于前 $n$ 次结果。离散时间适应过程首次进入可测集的时刻都是停时。连续时间的相应结论需要适当的可测性或样本路径正则性假设；例如，连续适应过程首次到达闭集的时刻是停时。(stats.libretexts.org)

在停时已经获得的信息由下式表示：

\mathcal F_\tau = \{A\in\mathcal F: A\cap\{\tau\le t\}\in\mathcal F_t \text{ 对每个 }t\ge0\text{ 都成立}\}.

利用这个σ代数，可以在随机时刻而不只是确定时刻表述条件期望和有关鞅的结果。(psdey.web.illinois.edu)

对所选信息结构的依赖

扩大滤过会保留适应性，但不一定保留鞅性质。要使布朗运动 $B$ 成为相对于 $\mathbb F$ 的布朗运动，它必须适应于该滤过，而且对 $s<t$ ，每个未来增量 $B_t-B_s$ 都必须与 $\mathcal F_s$ 统计独立。仅有适应性是不够的。(math.uchicago.edu)

例如，固定 $T>0$ ，通过在零时刻揭示 $B_T$ 来扩大布朗运动的自然滤过。该过程仍然是适应的，但不可能仍是鞅：此时 $B_T$ 在零时刻就已可测，因此

\mathbb E[B_T\mid\mathcal G_0]=B_T,

而鞅的等式要求这个条件期望等于 $B_0=0$ 。这是鞅定义的直接推论，也说明了为什么“公平性”取决于信息。(math.uchicago.edu)

在随机积分和金融市场的数学模型中，滤过规定了哪些观测信息可以用于确定被积过程或交易策略。要求决策关于当前或先前的信息可测，就以数学形式排除了预知未来的可能。因此，即使底层随机变量保持不变，改变滤过也可能改变哪些策略是容许的。(web.math.wisc.edu)

参考来源

Lecture 6: Filtrations and Stopping Timespsdey.web.illinois.edu
11: Filtrations and Stopping Timesstats.libretexts.org
Chapter 4: Filtrations, Conditional Expectation, and Martingalesmaths.dur.ac.uk
Continuous Martingales and Stochastic Calculusmaths.ox.ac.uk
Basics of Stochastic Analysisweb.math.wisc.edu
Brownian Motion and Stochastic Calculusmath.uchicago.edu
Lecture Notes on Probabilitytamuz.caltech.edu