维纳过程 · aiwiki.page

维纳过程是一种实值、连续时间的随机过程，从零开始，具有连续的样本路径，其增量相互独立且服从正态分布，增量的方差等于相应时间间隔的长度。它也称为标准布朗运动，为不规则运动提供了精确的数学模型，也是随机分析中一种基本的随机性来源。维纳过程以诺伯特·维纳的名字命名，他在20世纪20年代为这一过程奠定了严格的数学基础。这一数学对象应与它所理想化描述的物理现象相区分。(stat.uchicago.edu)

定义与分布

在概率空间 $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ 上，标准维纳过程是一族满足以下条件的随机变量 $(W_t)_{t\geq0}$ ：

$W_0=0$ 以概率1成立。
样本路径 $t\mapsto W_t(\omega)$ 几乎必然连续。
不相交时间区间上的增量具有统计独立性。
对于 $0\leq s<t$ ，
$W_t-W_s\sim\mathcal N(0,t-s).$

这里， $\mathcal N(m,v)$ 表示均值为 $m$ 、方差为 $v$ 的正态分布。因此，增量的分布仅取决于时间区间的长度，而不取决于其起始时刻，即增量是平稳的。连续性是一项单独的要求；仅规定各个时刻的取值服从高斯分布，并不足以定义维纳过程。(stat.uchicago.edu)

在任一时刻 $t$ ，其期望值为零，方差为 $t$ 。其协方差函数为

\operatorname{Cov}(W_s,W_t)=\min(s,t).

更一般地，任意有限个时刻的过程取值都服从多元正态分布。因此，维纳过程是一种高斯过程，其零均值、协方差函数以及路径连续性要求共同构成了完整的刻画。尽管不相交区间上的增量相互独立，不同时刻的取值通常仍然相互依赖。(stat238.berkeley.edu)

缩放、记忆与条件化

对于任意 $c>0$ ，缩放后的过程

\widetilde W_t=c^{-1/2}W_{ct}

与 $W_t$ 具有相同的概率分布。这种布朗缩放体现了典型位移与经过时间的平方根之间的关系。反射也保持其分布不变： $-W_t$ 仍是标准维纳过程。对于固定的 $s$ ，平移后的过程 $W_{s+t}-W_s$ 也是一个标准维纳过程，并且独立于截至时刻 $s$ 的全部历史。(stat.uchicago.edu)

自然滤过 $\mathcal F_t=\sigma(W_r:0\leq r\leq t)$ 记录了上述历史。相对于这一滤过，维纳过程具有马尔可夫性质：给定条件后的未来行为取决于当前值，而非全部过去。它也是一个鞅，满足

\mathbb E[W_t\mid\mathcal F_s]=W_s,\qquad s\leq t.

这一等式通过条件期望表达了不存在可预测漂移的性质。对自然滤过作通常的增广后，布朗运动还具有强马尔可夫性质，将从某一时刻重新开始的原理推广到适当的随机停时。(stat.uchicago.edu)

样本路径的不规则性

虽然每条典型路径都是连续函数，但它处处不可微，并且在每个非退化的有界区间上都具有无穷大的全变差。因此，维纳路径不存在通常意义下的速度。在紧区间上，路径几乎必然对每个严格小于 $1/2$ 的指数都满足霍尔德连续性，这为其粗糙程度提供了定量描述。(wias-berlin.de)

然而，其二次变差是有限的。对于最大子区间长度趋于零的确定性分割 $0=t_0<\cdots<t_n=t$ ，

\sum_{i=1}^{n}(W_{t_i}-W_{t_{i-1}})^2\longrightarrow t

在均方意义下收敛，因而也依概率收敛。沿二进分割，上述收敛还几乎必然成立。通常将这一结果记为 $[W]_t=t$ 。非零的二次变差将维纳路径与连续可微路径区分开来，也是随机积分的核心所在。(ocw.mit.edu)

构造与随机游走极限

一种构造方法是先给出相容的有限维高斯分布，再证明存在一个连续版本。由此得到的、定义在从零出发的连续路径空间上的概率分布称为维纳测度。它描述的是整条轨迹的概率，而不仅仅是选定时刻上位置的概率。(wias-berlin.de)

维纳过程也可以作为随机游走的缩放极限出现。设各步增量独立同分布，均值为零，方差为有限的正数 $\sigma^2$ ，将其部分和记为 $S_k$ 。在时刻 $k/n$ 取值 $S_k/(\sigma\sqrt n)$ ，并在这些取值之间作线性插值。唐斯克定理指出，这些随机路径依分布收敛到标准维纳过程。这是中心极限定理的函数型推广，涉及整条路径，而非仅仅一个标准化后的和。(math.cmu.edu)

随机微积分与扩散

由于维纳路径具有无穷变差，以其为积分器进行积分需要超出通常逐路径积分的框架。伊藤积分 $\int_0^t H_s\,dW_s$ 是针对适当的非预见性被积过程构造的。对于二阶连续可微函数 $f$ ，伊藤公式给出

df(W_t)=f'(W_t)\,dW_t+\tfrac12f''(W_t)\,dt.

其中的二阶项反映了二次变差，并修正了通常的链式法则。因此，维纳过程可作为随机微分方程的驱动过程，将确定性漂移与随机波动区分开来。(live.ocw.mit.edu)

维纳过程与扩散的联系可由转移密度表示：

p(t,x,y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}} \exp\!\left(-\frac{(y-x)^2}{2t}\right).

它满足热方程 $\partial_t p=\tfrac12\partial_{yy}p$ 。因此，布朗运动所描述的概率演化，对应于密度在微分方程支配下的确定性演化。(stat.uchicago.edu)

在有限时间网格上进行数值模拟时，可以按下式依次生成各时刻的取值：

W_{t_{k+1}}=W_{t_k}+\sqrt{t_{k+1}-t_k}\,Z_k,

其中 $Z_k$ 是相互独立的标准正态随机变量。这些网格点上的取值具有精确的维纳过程有限维分布；在它们之间进行线性插值，只是对连续随机路径的近似。(stat238.berkeley.edu)

参考来源

Brownian Motionstat.uchicago.edu
Wiener’s Construction of the Brownian Motionlink.springer.com
STAT 238 — Bayesian Statistics Lecture Twenty Onestat238.berkeley.edu
Stochastic Calculusmath.cmu.edu
Brownian Motion and Itô Calculuswias-berlin.de
Lecture 8: Quadratic Variationocw.mit.edu
Lecture 17: Ito Process and Formulalive.ocw.mit.edu