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科学 / density-matrix

密度矩阵

密度矩阵用于表示量子态，可描述纯态、统计混合态以及纠缠系统的约化态。

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量子力学波函数希尔伯特空间矩阵（数学）矩阵的迹复数特征值与特征向量谱定理密度矩阵

密度矩阵是量子力学中量子态的一种数学表示，它决定了测量结果的概率。与单独使用波函数或态矢量不同，密度矩阵既能描述纯态，也能描述混合态，包括统计混合态以及与环境纠缠的子系统的状态。密度矩阵通常记作 ρ\rho，为量子不确定性和经典随机性提供了统一的描述框架。“密度算符”一词强调的是不依赖于基底的对象，而“密度矩阵”指的是该对象在选定基底下的表示。(quantum.cloud.ibm.com)

数学定义

对于希尔伯特空间为 H\mathcal H 的有限维系统，密度矩阵是满足以下条件的方形矩阵：

ρ=ρ†,⟨v∣ρ∣v⟩≥0,Tr⁡ρ=1.\rho=\rho^\dagger,\qquad \langle v|\rho|v\rangle\geq0,\qquad \operatorname{Tr}\rho=1.

这里，†\dagger 表示共轭转置，非负性条件对任意向量 ∣v⟩|v\rangle 都成立，而矩阵的迹是其对角元素之和。因此，ρ\rho 是厄米的、半正定的，且经过归一化。其元素可以是复数，但其特征值都是非负实数，且总和为一。在无限维希尔伯特空间中，相应定义要求密度算符是迹为一的正迹类算符。(quantum.cloud.ibm.com)

根据谱定理，

ρ=∑jλj∣j⟩⟨j∣,\rho=\sum_j\lambda_j|j\rangle\langle j|,

其中特征向量构成一组标准正交基。特征值构成一个概率分布。密度矩阵构成一个凸集：对有效的密度矩阵按概率权重取平均，所得结果仍是有效的密度矩阵。(learning.quantum.ibm.com)

纯态、混合态与相干性

归一化向量 ∣ψ⟩|\psi\rangle 通过下式定义一个纯态：

ρ=∣ψ⟩⟨ψ∣.\rho=|\psi\rangle\langle\psi|.

这是一个秩为一的正交投影，满足 ρ2=ρ\rho^2=\rho。它的秩为一，将 ∣ψ⟩|\psi\rangle 乘以一个整体相位因子不会改变 ρ\rho。如果采用统计制备方式，以概率 pkp_k 选择 ∣ψk⟩|\psi_k\rangle，则得到

ρ=∑kpk∣ψk⟩⟨ψk∣,pk≥0,∑kpk=1.\rho=\sum_kp_k|\psi_k\rangle\langle\psi_k|, \qquad p_k\geq0,\quad \sum_kp_k=1.

这些向量不必相互正交。不同的制备系综可以产生完全相同的密度矩阵，因此仅通过对该系统的测量无法区分它们。混合态的秩大于一。(preskill.caltech.edu)

混合态不同于量子叠加。对于一个量子比特，可以将纯态 ∣+⟩=(∣0⟩+∣1⟩)/2|+\rangle=(|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt2 与 ∣0⟩|0\rangle 和 ∣1⟩|1\rangle 的等概率混合态进行比较：

ρ+=12(1111),ρmix=12(1001).\rho_+=\frac12 \begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}, \qquad \rho_{\mathrm{mix}}=\frac12 \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

在计算基下测量时，两者给出相同的概率分布，但在 ∣+⟩,∣−⟩|+\rangle,|-\rangle 基下测量时则可以将它们区分开来。非对角元素表征相对于所选基底的相干性，并影响干涉。矩阵是否为对角形式取决于基底：每个密度矩阵在其特征基下都是对角的，因此仅凭对角性不能认定系统是经典的。(quantum.cloud.ibm.com)

测量与可观测量

可观测量 AA 的期望值为

⟨A⟩=Tr⁡(ρA).\langle A\rangle=\operatorname{Tr}(\rho A).

对于结果 aa 对应投影算符 PaP_a 的投影测量，玻恩规则写为 p(a)=Tr⁡(ρPa)p(a)=\operatorname{Tr}(\rho P_a)。更一般地，正算符值测量使用一组总和为单位算符的正算符 EaE_a，并有 p(a)=Tr⁡(ρEa)p(a)=\operatorname{Tr}(\rho E_a)。这些公式同样适用于纯态和混合态。(preskill.caltech.edu)

仅凭结果的概率本身，不能确定测量后的状态。对于理想投影测量，在已知测量结果为 aa 的条件下，

ρa=PaρPaTr⁡(ρPa),\rho_a=\frac{P_a\rho P_a}{\operatorname{Tr}(\rho P_a)},

前提是分母不为零。通过测量大量以相同方式制备的系统，在实验中重建密度矩阵的过程称为量子态层析。(fab.cba.mit.edu)

复合系统与约化态

系统 AA 和 BB 的联合希尔伯特空间是二者的张量积，即 HA⊗HB\mathcal H_A\otimes\mathcal H_B。它们的联合态由 ρAB\rho_{AB} 描述。当只考虑 AA 时，可通过偏迹得到其约化态：

ρA=Tr⁡BρAB.\rho_A=\operatorname{Tr}_B\rho_{AB}.

这一运算舍弃了对 BB 的访问，同时保留了关于 AA 的所有测量预测。(learning.quantum.ibm.com)

量子纠缠使得整体处于纯态的系统可以具有混合的约化态。对于贝尔态 (∣00⟩+∣11⟩)/2(|00\rangle+|11\rangle)/\sqrt2，每个单独的量子比特的密度矩阵都是 I/2I/2，尽管这对量子比特整体处于纯态。这种局部混合性并不要求观察者实际测量另一个量子比特。因此，混合密度矩阵不一定意味着我们对某个独立存在的子系统纯态缺乏了解。(quantum.cloud.ibm.com)

时间演化与热态

对于孤立系统，幺正演化给出 ρ(t)=U(t)ρ(0)U†(t)\rho(t)=U(t)\rho(0)U^\dagger(t)。由薛定谔方程可得刘维尔–冯·诺依曼方程：

iℏdρdt=[H,ρ],i\hbar\frac{d\rho}{dt}=[H,\rho],

其中 HH 是哈密顿算符。由于该方程对 ρ\rho 是线性的，因此它适用于任意混合态。(ocw.mit.edu)

与环境的相互作用需要用约化系统来描述，并且可能改变状态的纯度。在量子退相干过程中，相对于相关基底的相干性受到抑制；这并不意味着在每一组基底下，所有非对角元素都必然消失。因此，密度矩阵为描述量子噪声提供了一种自然的语言。(quantum.cloud.ibm.com)

在统计力学中，温度为 TT 时的正则平衡态为

ρβ=e−βHZ,Z=Tr⁡(e−βH),β=1kBT,\rho_\beta=\frac{e^{-\beta H}}{Z}, \qquad Z=\operatorname{Tr}(e^{-\beta H}), \qquad \beta=\frac{1}{k_BT},

其中 kBk_B 是玻尔兹曼常数。这一表达式以配分函数 ZZ 有限为前提。在能量特征基下，各能级的占据概率服从玻尔兹曼权重。(fab.cba.mit.edu)

纯度与熵

纯度定义为 Tr⁡(ρ2)\operatorname{Tr}(\rho^2)。在 dd 维空间中，其取值介于 1/d1/d 和 11 之间；达到上限的是纯态，达到下限的是最大混合态 I/dI/d。(preskill.caltech.edu)

冯·诺依曼熵在量子信息论中具有核心地位，其定义为

S(ρ)=−Tr⁡(ρlog⁡ρ)=−∑jλjlog⁡λj,S(\rho)=-\operatorname{Tr}(\rho\log\rho) =-\sum_j\lambda_j\log\lambda_j,

其中约定 0log⁡0=00\log0=0。纯态的冯·诺依曼熵为零，最大混合态的冯·诺依曼熵达到 log⁡d\log d。采用以二为底的对数时，熵的单位为比特。对于二分系统的纯态，任一约化密度矩阵的熵都可用于量化纠缠；对于一般的混合态，熵本身并不是纠缠的度量。(preskill.caltech.edu)