哈恩–巴拿赫定理

哈恩–巴拿赫定理是泛函分析中的一个基本结果，断言定义在子空间上的线性泛函可以延拓到整个空间，而不增大其给定的界。最常见的形式保证有界线性泛函的范数在延拓后保持不变。相关的几何形式则用超平面分离凸集。这些结果共同表明，连续线性泛函能够提供足够丰富的标量测量，以区分向量并刻画其范数。(ocw.mit.edu)

保范延拓

设 $X$ 是数域 $\mathbb F=\mathbb R$ 或 $\mathbb C$ 上的赋范向量空间， $M\subseteq X$ 是一个线性子空间。假设 $f:M\to\mathbb F$ 是有界线性泛函，其范数为

\|f\|=\sup_{\substack{x\in M\\\|x\|\leq1}}|f(x)|.

那么存在有界线性泛函 $F:X\to\mathbb F$ ，使得

F|_M=f,\qquad \|F\|=\|f\|.

这里既不要求 $X$ 完备，也不要求 $M$ 闭。因此，该定理适用于一般的赋范空间，而不仅仅适用于巴拿赫空间。(ocw.mit.edu)

这一结论比仅在代数意义上延拓线性映射更强：它保持了控制泛函大小的最小常数。如果在 $M$ 上有 $|f(x)|\leq C\|x\|$ ，那么延拓后的泛函也可以在整个 $X$ 上满足同样的不等式。(ocw.mit.edu)

受控延拓

一个更一般的实数形式使用次线性函数 $p:X\to\mathbb R$ ，其中 $X$ 是实向量空间。次线性是指

p(x+y)\leq p(x)+p(y),\qquad p(tx)=tp(x)\quad(t\geq0).

如果线性泛函 $f:M\to\mathbb R$ 满足

f(x)\leq p(x)\quad(x\in M),

那么它存在一个线性延拓 $F:X\to\mathbb R$ ，满足

F(x)\leq p(x)\quad(x\in X).

这一形式是纯代数的：不预设任何拓扑或连续性。与范数不同，次线性函数不一定具有对称性，也不一定非负。(bpb-us-e1.wpmucdn.com)

对于半范数 $p$ ，该定理也有实数或复数版本：

|f(x)|\leq p(x)\quad(x\in M) \quad\Longrightarrow\quad |F(x)|\leq p(x)\quad(x\in X).

取 $p(x)=\|f\|\|x\|$ ，便得到保范延拓：上述界给出 $\|F\|\leq\|f\|$ ，而将 $F$ 限制到 $M$ 上则给出反向不等式。(web.ma.utexas.edu)

证明机制

关键步骤是将实线性泛函的定义域扩充一维。选取 $z\notin M$ ，并令

g(m+tz)=f(m)+ta.

要保持 $g\leq p$ ，只需选取满足下式的 $a$ ：

\sup_{m\in M}\bigl(f(m)-p(m-z)\bigr) \leq a\leq \inf_{m\in M}\bigl(p(m+z)-f(m)\bigr).

这个区间非空，因为对任意 $u,v\in M$ ，有

f(u)+f(v)=f(u+v) \leq p(u+v) \leq p(u-z)+p(v+z).

随后利用正齐次性，即可处理任意正、负系数 $t$ 。(loss.math.gatech.edu)

为了将泛函延拓到整个空间，按照定义域的延拓关系，对所有受控延拓赋予偏序。每条链都有一个上界，可由链中各延拓的并得到。佐恩引理保证存在极大延拓；而上述一维延拓步骤表明，它的定义域不可能是真子空间。(ocw.mit.edu)

复数情形可以归约到实数情形。先将 $\operatorname{Re}f$ 延拓为底层实向量空间上的实线性泛函 $u$ ，再定义

F(x)=u(x)-i\,u(ix).

这个泛函是复线性的，并且延拓了 $f$ 。利用模为一的复数标量作旋转，即可将对 $\operatorname{Re}F$ 的界转化为所需的对 $|F|$ 的界。(web.ma.utexas.edu)

几何分离

几何形式的哈恩–巴拿赫定理将延拓结果转化为关于凸集的命题。在实局部凸拓扑向量空间中，若两个非空凸集 $A,B$ 互不相交，且其中一个是开集，则存在非零连续线性泛函 $\ell$ 和实数 $\alpha$ ，使得

\ell(a)\leq\alpha\leq\ell(b) \quad(a\in A,\ b\in B).

集合 $\{x:\ell(x)=\alpha\}$ 就是一个分离超平面。对于复空间，分离关系用复线性泛函的实部来表述。(arxiv.org)

一个实用的更强情形是，将点 $x_0$ 与不包含该点的非空闭凸集 $C$ 分离：

\sup_{c\in C}\ell(c)<\ell(x_0).

这些假设至关重要：任意两个不相交的凸集之间，未必存在严格的分离间隙。联系几何与延拓的一个桥梁是闵可夫斯基泛函

p_U(x)=\inf\{t>0:x\in tU\},

其中 $U$ 是零点的一个适当的凸邻域。它的次线性使我们能够利用延拓定理构造分离泛函。(bpb-us-e1.wpmucdn.com)

对偶理论中的推论

用 $X^*$ 表示赋范空间 $X$ 的连续对偶空间。对每个非零向量 $x\in X$ ，哈恩–巴拿赫定理保证存在 $f\in X^*$ ，使得

\|f\|=1,\qquad f(x)=\|x\|.

为得到这样的泛函，先在 $x$ 的线性包上定义 $f_0(\lambda x)=\lambda\|x\|$ ，再将其延拓。因此，

\|x\|=\sup_{\|f\|\leq1}|f(x)|.

特别地，连续线性泛函能够区分不同的点。(ocw.mit.edu)

因此，映入二次对偶空间的典范映射

J:X\to X^{**},\qquad J(x)(f)=f(x),

是线性等距映射。哈恩–巴拿赫定理并不保证 $J$ 是满射；满射性是一项额外的性质，称为自反性。(ocw.mit.edu)

这些事实说明了该定理为何在对偶理论中居于核心地位：即使这些标量值测试无法用内积表示，也能通过它们恢复向量的范数。(ocw.mit.edu)

非唯一性与局限

延拓未必唯一。一个具体例子是，在 $\mathbb R^2$ 上赋予范数

\|(x,y)\|_1=|x|+|y|.

在水平轴上定义 $f(x,0)=x$ 。每个形如

F_b(x,y)=x+by,\qquad |b|\leq1,

的泛函都延拓了 $f$ ，且范数为一：因为 $|F_b(x,y)|\leq|x|+|y|$ ，并在 $(1,0)$ 处取等号。

该定理讨论的是标量值泛函。对于取值于任意巴拿赫空间的算子，不加限制的保范延拓定理并不成立；向量值延拓需要额外条件。此外，极大性论证虽然证明了延拓的存在性，但通常并不给出显式公式或计算方法。(sciencedirect.com)

佐恩引理等价于选择公理，但在证明中使用它，并不意味着哈恩–巴拿赫定理与完整的选择公理等价。该定理的一般形式可由较弱的选择原则推出，其中包括超滤子定理。(sciencedirect.com)

历史发展

该定理以汉斯·哈恩和斯特凡·巴拿赫的名字命名，两人独立完成的工作分别发表于1927年和1929年。弗里杰什·里斯和爱德华·赫利的早期结果已包含延拓原理的部分思想。从延拓结果到几何分离与对偶理论的发展，推动了现代泛函分析框架的建立。(sciencedirect.com)

参考来源

102 S2021 Lecture 5. Zorn's Lemma and the Hahn-Banach Theoremocw.mit.edu
102 S2021 Lecture 6. The Double Dual and the Outer Measure of a Subset of Real Numbersocw.mit.edu
Lectures on Analysisbpb-us-e1.wpmucdn.com
Proof of the Hahn-Banach Theoremloss.math.gatech.edu
Methods of Applied Mathematicsweb.ma.utexas.edu
The Hahn-Banach Theorem: a proof of the equivalence between the analitic and geometric versionsarxiv.org