倒易晶格 · aiwiki.page

倒易晶格是由矢量构成的离散点阵，用于在倒易空间而非通常的位置空间中描述晶体的平移周期性。它的矢量对应于这样的平面波：在晶体的布拉格晶格发生任意晶格平移时，这些平面波的相位均保持不变。倒易晶格是晶体学和凝聚态物理学的基础概念，将晶体的几何结构与衍射图样以及波在周期性材料中的行为联系起来。倒易晶格矢量的量纲为长度的倒数，其格点并不代表实际的原子位置。(iucr.org)

数学定义

设三个原始平移矢量 $\mathbf a_1,\mathbf a_2,\mathbf a_3$ 生成一个三维正晶格：

\mathbf R=n_1\mathbf a_1+n_2\mathbf a_2+n_3\mathbf a_3, \qquad n_i\in\mathbb Z.

这些矢量定义了一个原始晶胞。按照物理学中常用的约定，倒易基（线性代数）的基矢满足

\mathbf a_i\cdot\mathbf b_j=2\pi\delta_{ij},

其中，点号表示欧几里得内积， $\delta_{ij}$ 为克罗内克符号。每个倒易晶格矢量都是这些基矢的整数线性组合：

\mathbf G=h\mathbf b_1+k\mathbf b_2+l\mathbf b_3.

等价地，倒易晶格恰好由对所有正晶格平移矢量 $\mathbf R$ 均满足下式的矢量组成：

e^{i\mathbf G\cdot\mathbf R}=1

这一条件表达了平面波在晶格平移下的不变性。(ocw.mit.edu)

记 $\Omega=\mathbf a_1\cdot(\mathbf a_2\times\mathbf a_3)$ ，则倒易基矢为

\mathbf b_1=2\pi\frac{\mathbf a_2\times\mathbf a_3}{\Omega}, \quad \mathbf b_2=2\pi\frac{\mathbf a_3\times\mathbf a_1}{\Omega}, \quad \mathbf b_3=2\pi\frac{\mathbf a_1\times\mathbf a_2}{\Omega}.

晶体学文献常省略 $2\pi$ ，改用 $\mathbf a_i\cdot\mathbf b_j=\delta_{ij}$ 作为定义。这两种约定描述的是相同的几何结构，只是数值尺度不同。倒易基是对偶基经过尺度变换后的表示，其中通过欧几里得内积将对偶基与矢量对应起来。只要始终采用同一种约定，连续进行两次倒易构造就会得到原来的正晶格。(dictionary.iucr.org)

几何结构与晶面

非零倒易矢量垂直于与之对应的一族平行晶面。这些晶面的取向由米勒指数 $(hkl)$ 指定。在含 $2\pi$ 的约定下，相应指数的晶面间距为

d_{hkl}=\frac{2\pi}{|\mathbf G_{hkl}|}.

当各指数互质时，这些晶面是相邻的晶格平面。将所有指数乘以同一个整数，便会得到沿相同方向、距原点更远的倒易矢量，代表更高阶的空间谐波。因此，实空间中较大的间距对应于较小的倒易矢量模长。(dictionary.iucr.org)

对于晶格常数为 $a$ 的简单立方晶格，其倒易晶格也是简单立方晶格，晶格常数为 $2\pi/a$ 。面心立方晶格与体心立方晶格互为倒易晶格。倒易构造取决于完整的平移晶格，而不只是所选常规晶胞的形状；在确定哪些带指数的点属于倒易晶格时，必须计入心化平移。(dictionary.iucr.org)

傅里叶表示

倒易晶格给出了具有晶格周期性的函数所允许的空间频率。例如，周期性的电子密度可以展开为傅里叶级数：

\rho(\mathbf r)=\sum_{\mathbf G}\rho_{\mathbf G} e^{i\mathbf G\cdot\mathbf r}.

因此，倒易空间是表示晶体傅里叶变换的自然空间。对于理想的无限周期晶体，其变换在倒易晶格格点处具有离散分量。这些分量的权重反映了重复晶胞内部的物质排列，而不仅仅是晶胞的平移几何结构。(iucr.org)

在衍射中，这些权重由结构因子描述，它给出了每个衍射反射的振幅和相位。在运动学近似下，反射强度与结构因子模的平方成正比。因此，即使某个反射在几何上是允许的，也可能因不同原子的贡献相互抵消而具有零强度。系统消光源于含有平移分量的对称要素，包括心化平移、滑移面和螺旋轴。(dictionary.iucr.org)

衍射与埃瓦尔德构造

对于弹性散射，设入射和出射波矢分别为 $\mathbf k_{\mathrm{in}}$ 和 $\mathbf k_{\mathrm{out}}$ 。平移晶格产生相长干涉的条件为

\mathbf k_{\mathrm{out}}-\mathbf k_{\mathrm{in}}=\mathbf G.

弹性散射还要求两个波矢的模长相等，均为 $2\pi/\lambda$ 。这两个条件合起来等价于布拉格定律，其常见形式为 $2d\sin\theta=n\lambda$ 。它们解释了为何晶体衍射只出现在特定方向，而不是连续地出现在所有方向。(ocw.mit.edu)

埃瓦尔德球以几何方式表达了这些条件。取一个半径为 $2\pi/\lambda$ 的球，并使倒易空间原点位于球面上；其他倒易晶格点只要落在该球面上，就对应一个可以发生的反射。旋转晶体会改变这些交点，改变波长则会改变球的半径。这一构造是解读X射线晶体学测量结果的基础。(iucr.org)

布里渊区与周期性波动

第一布里渊区是倒易晶格的维格纳–赛茨原胞，即到原点的距离比到任何其他倒易晶格点的距离都更近的区域。其边界是原点与其他倒易格点之间连线的垂直平分面，将该区域平移得到的各个副本可以铺满倒易空间。它是一个倒易原胞，而不是整个倒易晶格。(wikis.mit.edu)

布洛赫定理将周期性介质中的波描述为一个平面波因子与一个具有晶格周期性的函数的乘积。相差一个 $\mathbf G$ 的波矢标记具有相同的平移相位，因此可以将不同的模式归入同一个布里渊区中。这一框架既适用于电子态，也适用于周期性结构中的电磁波。布里渊区是连续的区域：在其内部用于标记模式的波矢本身不必是倒易晶格格点。(ocw.mit.edu)