几何级数 · aiwiki.page

几何级数是将一系列项相加得到的和，其中每一项都是前一项乘以一个固定的数得到的，这个固定的数称为公比。首项为 $a$ 、公比为 $r$ 的几何级数具有如下形式：

a+ar+ar^2+ar^3+\cdots.

有限几何级数包含指定数量的项；无穷级数则通过其部分和的极限来定义。当 $a\ne0$ 时，无穷几何级数当且仅当 $|r|<1$ 时收敛，其和为 $a/(1-r)$ 。（openstax.org）

定义与记号

几何级数的各项构成一个等比数列。数列将各项依次列出，而级数则将这些项相加。例如， $3,6,12,24$ 是一个公比为 $2$ 的等比数列， $3+6+12+24$ 则是与之对应的有限级数。（openstax.org）

使用求和记号，前 $N$ 项的和为

S_N=\sum_{n=0}^{N-1}ar^n.

因此，最后一项为 $ar^{N-1}$ ，而不是 $ar^N$ 。同一个和也可以用从 $1$ 开始的下标表示：

S_N=\sum_{n=1}^{N}ar^{n-1}.

只要相应地调整指数和求和上下限，改变下标的起点并不会改变级数。（openstax.org）

首项和公比可以是实数，也可以是复数。通过乘法而不是相邻项的商来定义各项，也能涵盖 $r=0$ 的情形：此时得到的级数为 $a+0+0+\cdots$ 。指数为零的那一项约定为首项 $a$ 。（en.wikipedia.org）

有限和及其推导

当 $r\ne1$ 时，

\boxed{S_N=a\frac{1-r^N}{1-r}}.

这个公式可以通过简短的代数运算推导出来。将和乘以 $r$ ，得到

rS_N=ar+ar^2+\cdots+ar^N.

从原式中减去这个式子，所有中间项都会抵消：

(1-r)S_N=a-ar^N.

两边除以 $1-r$ ，便得到上述公式。如果 $r=1$ ，每一项都等于 $a$ ，此时应使用 $S_N=Na$ 。（openstax.org）

例如，

3+6+12+24 =3\frac{1-2^4}{1-2} =45.

无论各项增大还是减小，有限和公式都适用；对于有限和，不需要 $|r|<1$ 这样的条件。（openstax.org）

无穷和与收敛性

当无穷级数的部分和具有如下极限时，称该级数的和为 $S$ ：

S=\lim_{N\to\infty}S_N.

如果 $|r|<1$ ，则 $r^N\to0$ ，由有限和公式可得

\boxed{\sum_{n=0}^{\infty}ar^n=\frac{a}{1-r}}.

例如，

1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=2, \qquad 1-\frac12+\frac14-\frac18+\cdots=\frac23.

这些等式描述的是有限和的极限，而不是完成了无穷次加法运算。（openstax.org）

当 $a\ne0$ 时，不满足收敛条件的情形如下：

** $r=1$ ：**部分和为 $Na$ ，不会趋于有限的极限。
** $r=-1$ ：**部分和在 $a$ 和 $0$ 之间交替变化。
** $|r|>1$ ：**各项不趋于零。
** $r$ 为复数且 $|r|=1$ ：**各项的模恒定且非零，因此不可能趋于零。

任何级数收敛的一个必要条件是其各项趋于零。由此可判定上述后几种情形下的级数发散。例外是 $a=0$ 的情形，此时无论公比为何值，得到的都是零级数。（en.wikipedia.org）

每个收敛的几何级数也都绝对收敛，因为

\sum_{n=0}^{\infty}|ar^n| =|a|\sum_{n=0}^{\infty}|r|^n =\frac{|a|}{1-|r|}.

因此，几何级数是数学分析中常用的比较级数。通过与按等比规律衰减的项进行比较，可以建立适用于更一般级数的比值判别法和根值判别法。（openstax.org）

余项与近似

用无穷和减去有限和，可以得到取前 $N$ 项后余项的精确表达式：

R_N=S-S_N=\frac{ar^N}{1-r}, \qquad |r|<1.

其绝对值为

|R_N|=\frac{|a|\,|r|^N}{|1-r|} \leq\frac{|a|\,|r|^N}{1-|r|}.

这些表达式直接由两个求和公式得到，能够量化截断级数所产生的误差。（openstax.org）

公比固定时， $N$ 每增加 $1$ ，余项的绝对值就乘以 $|r|$ 。因此，公比的绝对值越接近 $1$ ，收敛就越慢；绝对值较小的公比则对应较快的收敛。当 $a$ 为正实数时，介于 $0$ 与 $1$ 之间的正公比使部分和递增并趋于级数的和；介于 $-1$ 与 $0$ 之间的负公比则使部分和在级数的和两侧交替逼近。（openstax.org）

幂级数与微积分

让公比成为变量，可以得到基本的幂级数恒等式：

\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n, \qquad |x|<1.

其收敛半径为 $1$ ，两个实数端点 $x=1$ 和 $x=-1$ 都不在收敛区间内。通过代入，可以得到其他函数的展开式，例如

\frac{1}{1+x^2} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2n}, \qquad |x|<1.

（openstax.org）

在收敛区间内部，幂级数可以逐项求导和逐项积分。对几何级数展开式求导数，得到

\frac{1}{(1-x)^2} =\sum_{n=1}^{\infty}n x^{n-1}.

从 $0$ 到 $x$ 作积分，得到

-\log(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}, \qquad |x|<1.

这些推导出的级数本身并不是几何级数，因为它们的系数随 $n$ 而变化。（openstax.org）

循环小数

几何级数可以将循环小数表示为有理数。例如，

0.\overline{27} =\frac{27}{100}+\frac{27}{100^2}+\frac{27}{100^3}+\cdots =\frac{27/100}{1-1/100} =\frac{3}{11}.

更一般地，如果一个由 $k$ 位数字组成的循环节从小数点后第一位开始循环，并将这个循环节视为整数 $B$ ，则该循环小数表示的数为

0.\overline{\text{循环节}}=\frac{B}{10^k-1}.

这是公比为 $10^{-k}$ 时无穷和公式的应用。（openstax.org）

历史上的几何解释

阿基米德在求抛物线弓形的面积时，使用了与几何级数相对应的论证。从一个面积为 $A$ 的内接三角形开始，随后逐轮补入的一组三角形所增加的面积依次为

\frac A4,\quad \frac A{16},\quad \frac A{64},\ldots.

用现代记号表示，总面积为

A\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac14\right)^n=\frac{4A}{3}.

他的证明采用穷竭法来确定弓形的面积，而没有使用现代的无穷级数记号。这是对按固定比例递减的量求和的一个早期几何实例。（arxiv.org）

参考来源

2 Infinite Series - Calculus Volume 2openstax.org
4 Series and Their Notations - Precalculus 2eopenstax.org
6 Ratio and Root Tests - Calculus Volume 2openstax.org
Ch. 5 Key Equations - Calculus Volume 2openstax.org
1 Power Series and Functions - Calculus Volume 2openstax.org
Ch. 6 Key Concepts - Calculus Volume 2openstax.org
Geometric seriesen.wikipedia.org
Archimedes' quadrature of the parabola and minimal coversarxiv.org