量子霍尔效应 · aiwiki.page

量子霍尔效应是指二维电子系统通常在低温度和垂直于系统平面的强磁场中，呈现精确量子化横向电导的现象。霍尔响应不再连续变化，而是形成一系列平台，同时伴有极小的纵向电阻。其整数和分数形式将量子力学、电子的集体行为与拓扑学联系起来，并提供了一种基本的电阻标准。(nist.gov)

物理条件与可观测量

在普通的霍尔效应中，磁场通过洛伦兹力使运动的载流子发生偏转。电荷在导体两侧积累，直至建立起横向电场。由此产生的霍尔电压沿垂直于所施加电流的方向测量。对于仅有一种载流子的简单二维系统，经典理论预言霍尔电阻的大小为 $B/(n_s e)$ ，其中 $B$ 为垂直磁场， $n_s$ 为单位面积的载流子密度， $e$ 为元电荷。(davidtong.org)

在量子情形下，典型的平台值为

|\sigma_{xy}|=\nu\frac{e^2}{h}, \qquad |R_{xy}|=\frac{h}{\nu e^2},

其中 $h$ 为普朗克常数， $\nu$ 用于标记平台。上述电阻表达式适用于纵向电阻率为零的情况；更一般地，电导率张量与电阻率张量互为逆矩阵，而不是各分量分别互为倒数。正负号取决于载流子类型和磁场方向。整数量子霍尔效应的平台标记为整数，而分数量子霍尔态出现在某些特定的有理数值处。(davidtong.org)

实验平台包括硅金属氧化物半导体场效应晶体管、砷化镓半导体异质结构和石墨烯。在这些系统中，载流子垂直于导电层的运动受到限制，而在层内仍可运动。(tsapps.nist.gov)

朗道能级与填充因子

垂直磁场使电子的轨道运动量子化，形成朗道能级。对于具有抛物线色散关系的常规电子系统，忽略自旋劈裂时，

E_N=\hbar\omega_c\left(N+\frac12\right), \qquad \omega_c=\frac{eB}{m^\ast},

其中 $N=0,1,2,\ldots$ ， $\hbar=h/(2\pi)$ ， $m^\ast$ 为有效质量。每个能级都包含许多不同的轨道态：对于每一种可分辨的内部组分，其单位面积简并度为 $eB/h$ 。因此，填充因子

\nu=\frac{n_s h}{eB}

衡量的是载流子密度相对于这一轨道简并度的大小。自旋及其他内部自由度会影响实验中观测到的量子态序列。(davidtong.org)

低温有助于分辨相关能隙，避免热激发使粒子跨越能隙而占据激发态。石墨烯具有不同的朗道能级谱，包括一个零能级以及不等的能级间距，这反映了其低能色散关系近似为线性的特点。因此，尽管量子化霍尔电阻是一种共同现象，不同材料的微观能谱却有所差异。(nist.gov)

整数量子化与拓扑学

整数量子霍尔效应在很大程度上可以通过电子对朗道能级的占据，以及无序引起的局域化来理解。无序使能级展宽，并使许多体态局域化。当磁场或载流子密度变化时，局域态的占据情况可以发生改变，而量子化霍尔电导保持不变。这解释了为什么平台覆盖有限的区间，而不是只出现在孤立的整数填充处。在平台之间的过渡过程中，纵向输运变得显著。(davidtong.org)

另一种互补的描述采用边缘态。在样品边界处，束缚势产生具有特定传播方向的导电通道。对于简单的整数量子霍尔态，每条通道对电导的贡献为 $e^2/h$ 。因此，绝缘的体内区域与导电的边界可以共存，并不矛盾。(davidtong.org)

量子化更深层的本质通过陈数来表达，它是与被占据电子态相关的整数拓扑不变量。在适当的能带描述中， $\sigma_{xy}=C e^2/h$ ，其正负号取决于所采用的约定。只要系统仍处于同一个有能隙的相，这一不变量就不能连续变化。拓扑表述解释了为何量子化能够抵御许多微观扰动。(davidtong.org)

分数量子霍尔态

分数量子霍尔效应依赖电子之间的相互作用，不能仅用单粒子能级被独立填充来解释。在某些特定的分数填充处，电子形成具有强关联的不可压缩量子流体。例如， $\nu=1/3$ 和 $2/5$ 处存在这样的态；并非每个有理数填充都会产生此类态。(nist.gov)

对于 $\nu=1/m$ 、 $m$ 为奇数的填充情形，劳克林波函数描述了一类重要的电子态。它们的基本准粒子激发携带大小为 $e/m$ 的电荷。这些激发是流体的集体扰动，而不是基本粒子电子真正碎裂后产生的碎片。(davidtong.org)

这类激发可以是任意子，其交换行为与费米子和玻色子不同。分数量子霍尔相还具有拓扑序，其特征包括分数化激发，以及依赖空间拓扑的基态简并等性质。这些特征使它们区别于仅按常规对称性破缺分类的物相。(davidtong.org)

发现与电阻计量

克劳斯·冯·克利青于1980年使用格哈德·多尔达和迈克尔·佩珀制备的硅器件发现了整数量子化，并获得1985年诺贝尔物理学奖。崔琦和霍斯特·施特默于1982年发现了分数量子霍尔效应；罗伯特·劳克林随后提出了奠定其理论基础的关联态解释。劳克林、施特默和崔琦因发现具有分数电荷激发的量子流体，共同获得1998年诺贝尔物理学奖。(davidtong.org)

在计量学中，整数霍尔平台通过冯·克利青常数实现电阻标准：

R_K=\frac{h}{e^2}\approx25\,812.80745\ \Omega.

2019年修订的国际单位制规定了 $h$ 和 $e$ 的精确值，使 $R_K$ 成为精确常数，不过任何实验实现仍存在测量不确定度。石墨烯器件拓宽了实际可用的工作条件范围，并可构成阵列，以实现更多电阻值。(tsapps.nist.gov)