析因设计 · aiwiki.page

析因设计是一种实验设计，通过组合两个或多个因素的水平来共同考察这些因素。因素是输入变量或处理变量，水平则是某一特定的设置值或类别。全析因设计包含所有可能的组合；部分析因设计则包含按系统方法选取的部分组合。在统计学中，这类设计可将单个因素的效应与统计交互作用区分开来；交互作用是指一个因素的效应取决于另一个因素的情况。(itl.nist.gov)

结构与记法

全析因设计中的处理组合构成各因素水平集合的笛卡尔积。若有 $k$ 个因素，分别具有 $l_1,\ldots,l_k$ 个水平，则不同组合的数量为

M=\prod_{i=1}^{k}l_i.

因此， $2\times3$ 设计有六种组合，而 $2^k$ 设计包含 $k$ 个二水平因素，共有 $2^k$ 种组合。若每种组合有 $r$ 个观测值，则观测总数为 $N=rM$ 。各组合的重复次数相等时，便得到平衡设计。(itl.nist.gov)

因素可以是定量因素，例如温度，也可以是分类因素，例如材料类型。在二水平设计中，设置值通常编码为 $-1$ 和 $+1$ 。这些编码标识所选的低水平和高水平，而不代表物理单位。因此，三因素二水平设计有八种组合，可视为立方体的八个顶点。(itl.nist.gov)

主效应与交互作用

主效应描述的是在其他因素的各水平上取平均后，与某个因素有关的变化。交互作用则描述这一变化如何随另一个因素而改变。与保持其他因素不变、每次只改变一个因素的实验不同，析因实验通过观测所需的因素组合来识别这种依赖关系。(itl.nist.gov)

以一个 $2\times2$ 实验为例，假设各组合的均值如下：

	$B$ 低水平	$B$ 高水平
$A$ 低水平	10	14
$A$ 高水平	12	22

当 $B$ 处于低水平时，提高 $A$ 水平的效应为 $2$ ；当 $B$ 处于高水平时，该效应为 $8$ 。两者之差 $8-2=6$ 是用“差值之差”度量的交互作用。 $A$ 的平均主效应为 $5$ 。按照二水平析因效应的常规定义，交互效应等于差值之差的一半，即 $3$ 。这些数值是根据上述假设表格计算得到的，并非实证研究结果。(online.stat.psu.edu)

交互作用图以一个因素为横轴绘制响应均值，并用不同的线表示另一个因素的不同水平。线条不平行表明图中均值存在交互作用，但仅凭图形外观不能确定其是否具有统计显著性。当交互作用较大时，平均主效应便无法完整描述响应。(online.stat.psu.edu)

统计模型与分析

对于分别具有 $a$ 和 $b$ 个水平的两个固定因素，若每种组合有 $r$ 个观测值，标准模型为

Y_{ijm}=\mu+\alpha_i+\beta_j+(\alpha\beta)_{ij} +\varepsilon_{ijm}.

其中， $\mu$ 为总体均值， $\alpha_i$ 和 $\beta_j$ 为主效应项， $(\alpha\beta)_{ij}$ 表示交互作用。采用效应之和为零等常规约束，可使模型参数具有可识别性。经典统计推断假定误差相互独立、均值为零、具有相同的方差，并服从正态分布。(online.stat.psu.edu)

方差分析将变异分解为因素、交互作用和误差等部分。在这一平衡模型中，两个因素、交互作用及误差的自由度分别为 $a-1$ 、 $b-1$ 、 $(a-1)(b-1)$ 和 $ab(r-1)$ 。统计假设检验用于判断指定效应是否为零。(online.stat.psu.edu)

同一分析也可表示为线性回归，并用普通最小二乘法进行拟合。对于编码为 $\pm1$ 的两个因素，

Y=\beta_0+\beta_Ax_A+\beta_Bx_B+ \beta_{AB}x_Ax_B+\varepsilon.

在平衡的全析因设计中，这些模型列相互正交，即任意两列对应元素的乘积之和为零。除截距外，每个系数都等于相应析因效应的一半。残差分析用于检验拟合模型是否充分描述了观测数据。(itl.nist.gov)

随机化、重复与区组化

析因结构规定的是处理组合，而不是这些组合的实施顺序。随机化用于安排处理分配或试验顺序，以减少处理与未受控制的条件之间的系统性关联。区组化（统计学）将相对同质条件下的观测归为一组，例如将同一生产批次的观测归组，从而单独计入干扰因素造成的变异。(itl.nist.gov)

重复是指重复实施处理组合，可提供不受模型失拟影响的实验误差估计。仅对同一个已接受处理的实验单位反复测量，并不一定构成独立的实验重复。若每种组合只有一个观测值，包含所有交互作用的模型就是饱和模型：它能精确拟合观测响应，但不留下任何残差自由度。此时，估计误差需要额外信息，或需要假定某些效应可以忽略。(itl.nist.gov)

缩减设计与曲率

全析因设计所需的试验次数增长迅速：十个二水平因素在尚未安排重复时就需要 $1{,}024$ 种组合。部分析因设计通过有意引入混同关系来减轻这一负担；在这种关系下，不同效应无法分别估计。这种混杂由所选组合决定，而不是在实施过程中偶然产生。(itl.nist.gov)

设计分辨度描述规则二水平部分析因设计中各效应的可分离程度。分辨度为 III 的设计可能使主效应与二因素交互作用混同；分辨度为 IV 的设计能够将这两类效应分离，但二因素交互作用之间仍可能混同。因此，对结果的解释取决于关于哪些效应可以忽略的假设。增加折叠试验可以解除特定的混同关系。(itl.nist.gov)

二水平析因设计能够估计所选设置值之间的变化，却无法单独识别纯二次效应。对于定量因素，可以增加中心点试验，通过比较中心点与析因设计各设置点的响应来检验是否存在曲率。要识别各个二次项，则需要增加其他设置点，响应面方法正是采用了这种做法。(itl.nist.gov)