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数学 / trigonometry

三角学

三角学研究角、三角形边长及三角函数之间的关系，为几何、测量和周期运动提供工具。

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三角学是数学的一个分支，研究角与长度（尤其是三角形边长）之间的关系，以及表达这些关系的函数。它将几何测量转化为方程，从而把几何学与代数联系起来。虽然三角学的初等定义以直角三角形为基础，但现代三角学的研究范围还包括以任意实数为自变量的三角函数，以及描述周期性变化的方法。三角学的发展与天文学密切相关：天文学利用角度观测来计算难以直接测得的距离和位置。(openstax.org)

历史发展

早期三角学使用弦，即连接圆上两点的直线段。在古希腊，喜帕恰斯于公元前140年左右编制了一张弦表，但这张表未能流传下来。公元2世纪，托勒密发展了利用圆内接多边形、半角关系和插值法计算弦长的方法。这些计算服务于天文学模型，尚未形成类似现代三角学课程的独立学科。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

印度数学家将注意力转向半弦，这是正弦函数在几何上的前身。公元500年左右，阿耶波多给出了基于半弦的数值表。随后，使用阿拉伯语著述的学者进一步发展了三角函数表及相关关系，这一数学传统后来影响了欧洲的研究。历史上，球面三角形的计算与平面三角形的计算同样重要，尤其是因为天体的位置通常表示在球面上。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

角与直角三角形的边长比

角通常用度或弧度来度量。旋转一周为 360∘360^\circ，即 2π2\pi 弧度。弧度制将角的大小定义为该角所对的弧长与圆半径之比，因此特别适合数学分析。通常约定，正角表示逆时针旋转，负角表示顺时针旋转。(openstax.org)

对于直角三角形中的锐角 θ\theta，主要的三角函数定义为

sin⁡θ=对边斜边,cos⁡θ=邻边斜边,tan⁡θ=对边邻边.\sin\theta=\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}, \qquad \cos\theta=\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}, \qquad \tan\theta=\frac{\text{对边}}{\text{邻边}}.

这里，斜边是直角所对的边，而“对边”和“邻边”都是相对于所选锐角而言的。相似三角形的对应边之比相同，因此这些函数值只取决于角的大小，而与三角形的大小无关。其余常用三角函数由倒数定义：余割为 1/sin⁡θ1/\sin\theta，正割为 1/cos⁡θ1/\cos\theta，余切为 1/tan⁡θ1/\tan\theta，前提是相应分母不为零。(openstax.org)

单位圆与周期性

单位圆是以原点为圆心、半径为1的圆，它将三角函数的定义推广到锐角以外的情形。如果从水平轴正方向起量取的角 θ\theta 对应于圆上的点 (x,y)(x,y)，那么

cos⁡θ=x,sin⁡θ=y.\cos\theta=x,\qquad \sin\theta=y.

这些定义适用于任意实数 θ\theta，包括负值以及超过一周的角。正切定义为 sin⁡θ/cos⁡θ\sin\theta/\cos\theta，在 θ=π/2+kπ\theta=\pi/2+k\pi 处无定义，其中 kk 为整数。(openstax.org)

正弦和余弦都是最小正周期为 2π2\pi 的周期函数；正切的最小正周期为 π\pi。正弦和余弦的值域均为 [−1,1][-1,1]。它们的函数图像是平滑、重复的曲线，而正切函数的图像具有竖直渐近线。将勾股定理应用于单位圆，可得基本恒等式

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1.\sin^2\theta+\cos^2\theta=1.

因此，单位圆为三角函数的取值、正负号和周期性提供了统一的解释。(openstax.org)

恒等式与方程

三角恒等式是对其表达式有定义的所有自变量取值都成立的等式。重要的例子包括和角公式：

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β,\sin(\alpha+\beta) =\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,
cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β.\cos(\alpha+\beta) =\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.

令 α=β\alpha=\beta，即可得到倍角公式，包括 sin⁡(2α)=2sin⁡αcos⁡α\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha。这些恒等式可用于变换表达式、计算精确值和求解方程。与恒等式不同，三角方程通常只对特定的自变量取值成立；周期性往往使其具有无穷多个解。(openstax.org)

解一般三角形

对于一个平面三角形，设角 A,B,CA,B,C 的对边分别为 a,b,ca,b,c，则正弦定理表述为

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C.\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}.

已知两角和一边时，这一定理很有用。若已知两边及其中一边的对角，则满足条件的三角形可能不存在，也可能有一个或两个，这就是解不唯一的情形。(openstax.org)

余弦定理表述为

c2=a2+b2−2abcos⁡C.c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.

它可以根据两边及其夹角确定第三边，也可以根据三边求出各角。当 C=90∘C=90^\circ 时，余弦定理便化为勾股定理。与之相关的面积公式为 K=12absin⁡CK=\tfrac12 ab\sin C。这些关系共同使三角学成为根据部分测量数据确定三角形的实用方法。(openstax.org)

微积分与测量

在微积分中，自变量采用弧度制时，导数公式特别简洁：

ddxsin⁡x=cos⁡x,ddxcos⁡x=−sin⁡x.\frac{d}{dx}\sin x=\cos x, \qquad \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x.

这些关系使三角函数在物理学的振动模型中占据核心地位。例如，y(t)=Acos⁡(ωt+ϕ)y(t)=A\cos(\omega t+\phi) 表示简谐运动，其中 AA 为振幅，ω\omega 为角频率，ϕ\phi 为相位；通过求导可得到其速度和加速度。(openstax.org)

三角学还可以将角度观测结果转化为长度。在水平地面上，物体顶部高出观察者视线水平面的高度为 dtan⁡θd\tan\theta，其中 dd 为水平距离，θ\theta 为仰角。要得到物体的总高度，还须加上观察者眼睛距地面的高度。这说明，利用三角形中的关系，无须到达物体顶部也能进行间接测量。(openstax.org)