效用（经济学） · aiwiki.page

在经济学中，效用表示个人对商品、活动或结果的偏好排序。效用通常通过效用函数来表示：更受偏好的选项被赋予更高的数值。在现代微观经济学中，这些数值一般表示排序，而非可测量的幸福程度。效用为分析消费者选择和评估不同选项提供了一个框架，并不要求偏好只涉及金钱或物质消费。(ocw.mit.edu)

偏好与效用函数

分析的起点是不同选项之间的偏好关系，这些选项可以是由不同数量的商品组成的消费束。记号 $x\succeq y$ 表示消费束 $x$ 被认为至少与消费束 $y$ 一样好。如果一个函数满足以下条件，它就是表示这一偏好关系的效用函数：

x\succeq y \quad\Longleftrightarrow\quad u(x)\geq u(y).

严格偏好对应更高的效用数值，无差异则对应相等的数值。(ocw.mit.edu)

标准模型假定偏好具有完备性，即任意两个选项都可以比较；同时具有传递性，即排序在内部保持一致：若 $x\succeq y$ 且 $y\succeq z$ ，则 $x\succeq z$ 。在标准的消费空间中，加上适当的连续性条件后，偏好便可由一个作为连续函数的效用函数来表示。这些假设描述的是一种特定的理性选择模型，并不意味着所有观察到的决策都符合该模型。(ocw.mit.edu)

序数效用保留偏好排序，但数值之间的差异本身没有独立的意义。效用为 20 并不意味着其满足程度是效用为 10 时的两倍。任何严格递增变换 $f(u)$ 都表示相同的偏好。相比之下，基数效用赋予额外的数值结构以意义，例如效用差值之间的比率。不过，仅有基数性并不能确立不同个人之间效用的可比性。(ocw.mit.edu)

边际效用与替代

边际效用描述增加一定数量的某种商品所带来的效用变化。对于可微的效用函数，边际效用就是其偏导数：

MU_i=\frac{\partial u}{\partial x_i}.

边际效用递减意味着，在其他商品数量保持不变时，该导数随这种商品消费量的增加而下降。这是一项常见的建模假设，而不是偏好的普遍性质。(ocw.mit.edu)

无差异曲线由效用相同的消费束组成。当两种商品都是消费者想要的商品时，这些曲线通常向右下方倾斜：获得更多的一种商品，可以补偿放弃一部分另一种商品所带来的损失。边际替代率衡量这种局部的替代关系。采用正值约定时，

MRS_{xy}=\frac{MU_x}{MU_y}, \qquad \frac{dy}{dx}\bigg|_{u=\mathrm{constant}}=-MRS_{xy}.

与边际效用的大小不同，这个比率在经过可微、严格递增且导数为正的变换后保持不变。因此，序数消费者理论的核心是替代行为，而不是效用数值的增量。(ocw.mit.edu)

替代品与互补品中的完全替代品和完全互补品，体现了两种截然不同的模式。系数为正的线性效用函数 $u(x,y)=ax+by$ 对应直线形的无差异曲线。效用函数 $u(x,y)=\min\{x/a,y/b\}$ 则对应直角形的无差异曲线：单独增加一种商品的数量，无法使消费束的效用超出另一种商品所限定的水平。(ocw.mit.edu)

效用最大化与消费者需求

在消费者理论中，选择被建模为带约束的数学优化问题。给定正的价格 $p_i$ 、收入 $m$ ，并要求商品数量非负，消费者求解的问题为：

\max_{x\geq0}u(x) \quad\text{满足}\quad \sum_i p_i x_i\leq m.

预算约束界定了消费者负担得起的可行集。被选中的消费束是可负担选项中最受偏好的选项；表示同一偏好的不同效用函数，会产生相同的最大化选择。(live.ocw.mit.edu)

在效用函数可微、预算全部用尽的内点最优解处，购买的各种商品每单位货币所带来的边际效用相等：

\frac{MU_x}{p_x}=\frac{MU_y}{p_y},

等价地， $MRS_{xy}=p_x/p_y$ 。这一相切条件并非普遍适用：角点解和带折点的无差异曲线需要采用不同的处理方式。在适当的正则性与凸性假设下，该条件可以刻画最优选择。改变价格和收入，便可得到消费者需求。(live.ocw.mit.edu)

间接效用函数表示在给定价格和收入下能够达到的最大效用。与之相对应的支出最小化问题，则求出达到指定效用水平所需的最低支出。这些工具共同使人们能够用货币来衡量价格变化的影响，而不必把效用本身当作货币。(live.ocw.mit.edu)

期望效用与风险

在决策理论中，不确定的选项可以表示为彩票，即结果具有一定概率分布的方案。对于结果为 $z_k$ 、相应概率为 $p_k$ 的彩票，期望效用理论采用以下方式进行评价：

EU=\sum_k p_k u(z_k).

这是效用的期望值，不一定等于货币收益的期望值。完备性、传递性、连续性以及独立性公理，为彩票偏好的冯·诺伊曼—摩根斯坦表示提供了基础。(ocw.mit.edu)

在这一框架中，结果的效用表示在正仿射变换 $u'=au+b$ 下具有唯一性，其中 $a>0$ 。任意递增的非线性变换一般不能保留期望效用的排序。对于货币结果，递增的凹效用函数表示风险厌恶：与具有相同期望金额的彩票相比，决策者至少同样偏好直接获得该确定金额。线性效用表示风险中性，递增的凸效用则表示风险偏好。(ocw.mit.edu)

福利与实证局限

福利经济学利用偏好来评价资源配置。帕累托效率要求不存在这样一种可行的改变：在不使任何其他人的境况变差的同时，使某个人的境况变好；这一概念不要求进行人与人之间的效用比较。不过，将个人的效用数值相加，需要对可比性和加总方式作出额外假设。仅凭序数排序，无法确定一个人的收益应如何与另一个人的损失进行权衡。(ocw.mit.edu)

实际观察到的选择也可能偏离标准效用模型。行为经济学研究这些偏离，包括选择对表述框架和参照点的敏感性。前景理论通过相对于参照点的收益和损失，以及非线性的决策权重，对风险选择进行建模。这些发展表明，效用作为形式化表示的实用性，与特定选择假设在实证上是否充分吻合，是两个不同的问题。(nobelprize.org)